Schwere, Elektricität und Magnetismus:104

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 90
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Zweiter Abschnitt. §. 24.

$F'(s)=-{\frac {x^{2}}{(s+a^{2})^{2}}}-{\frac {y^{2}}{(s+b^{2})^{2}}}-{\frac {z^{2}}{(s+c^{2})^{2}}}$

durchaus negativ ist. Die Curve schneidet demnach die Abscissenaxe je einmal zwischen $-a^{2}\,$ und $-b^{2}\,$, zwischen $-b^{2}\,$ und $-c^{2}\,$ und zwischen $-c^{2}\,$ und $+\infty \,$. Die Werthe von $s\,$ an diesen drei Schnittstellen sind die Wurzeln der Gleichung $F(s)=0\,$. Nun ist aber, wie schon hervorgehoben, $F(0)\,$ positiv oder Null oder negativ, je nachdem der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb des Ellipsoids liegt, oder in seiner Oberfläche, oder innerhalb. Daraus ergibt sich leicht für die Gleichung $F(s)=0\,$, dass ihre grösste Wurzel positiv ist im ersten, Null im zweiten, negativ im dritten Falle. Die beiden anderen Wurzeln sind immer negativ. Wir wollen mit $\sigma \,$ nur die grösste Wurzel der Gleichung $F(s)=0\,$ bezeichnen.

 Zur Abkürzung werde

$\left({\frac {x}{\sigma +a^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{\sigma +b^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{\sigma +c^{2}}}\right)^{2}=l$

gesetzt. Betrachtet man in der Gleichung $F(\sigma )=0\,$ die vier Grössen $x,\,y,\,z,\,\sigma$ als variabel und $\sigma \,$ als Function von $x,\,y,\,z$ so ergibt sich durch Differentiation

${\frac {\partial \sigma }{\partial x}}={\frac {2x}{(a^{2}+\sigma )l}},\quad {\frac {\partial \sigma }{\partial y}}={\frac {2y}{(b^{2}+\sigma )l}},\quad {\frac {\partial \sigma }{\partial z}}={\frac {2z}{(c^{2}+\sigma )l}}.$

 So lange der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb oder in der Oberfläche des Ellipsoids liegt, sind die Grössen $a^{2}+\sigma ,\;b^{2}+\sigma ,\;c^{2}+\sigma \,$ positiv und verschieden von Null. Die Grösse $l\,$ ist positiv und wird nur dann zu Null, wenn entweder $x=y=z=0\,$ oder wenn eine dieser Coordinaten unendlich gross ist. Wir wollen die Function $\sigma \,$ nur für solche Punkte $(x,\,y,\,z)$ betrachten, die ausserhalb oder in der Oberfläche liegen. Unter dieser einschränkenden Voraussetzung sind ${\frac {\partial \sigma }{\partial x}},{\frac {\partial \sigma }{\partial y}},{\frac {\partial \sigma }{\partial z}}$ endlich und stetig variabel, so lange $x,\,y,\,z$ endlich sind. Die Function $\sigma \,$ ist deshalb ebenfalls stetig variabel. Sie ist unter der eben gemachten Voraussetzung positiv und bleibt endlich, so lange keine von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ unendlich gross genommen wird. Für einen unendlich entfernten Punkt $(x,\,y,\,z)$ ist $\sigma =+\infty \,$.

 Der Ausdruck für die Potentialfunction soll hier nicht abgeleitet werden. Wir wollen ihn als gegeben ansehen und den Beweis führen, dass er allen Bedingungen genügt, durch welche die