Schwere, Elektricität und Magnetismus:098

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Zweiter Abschnitt. §. 23.

 Aus den Gleichungen (3), (4), (5), (6) ersieht man, dass für jeden der zu betrachtenden Fälle die Differentialgleichungen des §. 18 und die dort aufgestellten Unstetigkeits- und Nebenbedingungen je eine einzige, völlig bestimmte Function liefern, und zwar stimmt der Ausdruck dieser Function, wie er aus den Vorschriften des §. 18 hervorgeht, überein mit dem Ausdrucke, welcher als Definition der Potentialfunction aufgestellt ist. Man erkennt dies unmittelbar durch Vergleichung der Ausdrücke (3), (4), (5), (6) mit resp. §. 2, (5), §. 14, (1), §. 17, (2), §. 2, (2). Damit ist die Behauptung des §. 18 bewiesen.

§. 23. Beispiel: Die Green'sche Function $U\!$ für das Innere eines rechtwinkligen Parallelepipedon.

 In §. 21 ist allgemein gezeigt worden, wie man mit Hülfe des Satzes von Green die Potentialfunction $V'\!$ für jeden Punkt $(x',\,y',\,z')$ im Innern eines Raumes $T\!$ bestimmt, wenn ihr Werth überall in der Oberfläche gegeben und die Summe ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ im Innern bekannt ist.

 Die Green’sche Hülfsfunction $U\!$ soll hier für einen besonderen Fall hergestellt werden. Der Raum $T\!$ sei ein rechtwinkliges Parallelepipedon. Wir legen die Coordinaten so, dass der Anfangspunkt in den Mittelpunkt des Parallelepipedon fällt, dass die Begrenzungs-Ebenen zu zweien je einer Coordinaten-Ebene parallel laufen und dass sie auf den Axen resp. die Strecken $\pm \,{\frac {a}{2}},\,\pm \,{\frac {b}{2}},\,\pm \,{\frac {c}{2}}$ abschneiden.

 Nach der Methode von Green' ist es erforderlich, eine Function $U\!$ herzustellen, welche

 1) in der Oberfläche überall den Werth Null hat;

 2) im Punkte $(x',\,y',\,z')$ unendlich wird wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte, übrigens aber im Innern des Parallelepipedon endlich und stetig variabel ist;

 3) im Innern des Parallelepipedon der partiellen Differentialgleichung Genüge leistet:

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$