Schwere, Elektricität und Magnetismus:077

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 63
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Die anziehende Masse ist über eine beliebige Linie vertheilt.

$V'=\rho _{0}\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{\sqrt {a^{2}+t^{2}}}}=\rho _{0}\int \limits _{k}^{k_{1}}{\frac {da}{R}}.$

 Aus (3) und (4) erhält man

(5)	$V-V'=\int \limits _{k}^{k_{1}}da\left\lbrace {\frac {\rho }{r\,\cos \lambda }}-{\frac {\rho _{0}}{R}}\right\rbrace .$

Das Integral auf der rechten Seite dieser Gleichung hat einen bestimmten, endlichen Werth, so lange $t\,$ von Null verschieden. Für $t=0\,$ nimmt der Factor von $da\,$ an einer Stelle zwischen den Integrationsgrenzen die Form $\infty -\infty \,$ an, nemlich an der Stelle $a=0\,$. Um den wahren Werth zu ermitteln, bringen wir die Function in die Form

${\frac {{\frac {a}{r}}{\frac {\rho }{\cos \lambda }}-{\frac {a\,\rho _{0}}{R}}}{a}}.$

Nun kann man leicht zeigen, dass für $t=0\,$ die Brüche ${\frac {a}{r}}$ und ${\frac {a}{R}}$ sich derselben endlichen Grenze annähern, wenn man $a\,$ in $0\,$ übergehen lässt. Denn es ist

${\frac {a}{R}}={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{a^{2}}}}}},$ ${\frac {a}{r}}={\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {b}{a}}-{\frac {y}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {z}{a}}\right)^{2}}}}.$

Lässt man $a\,$ in Null übergehen, so werden gleichzeitig auch $b\,$ und $c\,$ zu Null. Man erhält $\lim {\frac {b}{a}}={\frac {db}{da}},\lim {\frac {c}{a}}={\frac {dc}{da}}$. Beide Differentialquotienten sind aber gleich Null für $a=0\,$, weil die Axe der $x\,$ im Anfangspunkte die Curve berührt. Für $a=0\,$ hat man also

$\lim {\frac {a}{R}}=\lim {\frac {a}{r}}=\lim {\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {t^{2}}{a^{2}}}}}}.$

Dieser gemeinschaftliche Grenzwerth ist aber jedenfalls verschieden von ${\frac {1}{0}}$, d. h. er ist endlich, selbst wenn man $t=0\,$ nehmen will.