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Schwere, Elektricität und Magnetismus:059

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 45
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Verallgemeinerung des Satzes von Laplace.


für die andere


.


Folglich liefern die beiden eben betrachteten Flächen zu dem Integral


(1)


den Beitrag



Ebenso findet sich



als der Beitrag, welchen die beiden zur Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen liefern, und



als der Beitrag, welcher von den beiden zur Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen herrührt. Das Integral (1), über die ganze Begrenzung des Parallelepipedon erstreckt, hat also den Werth


(2)


Dabei ist vorausgesetzt, dass je einen bestimmten endlichen Werth haben, dass also der Punkt weder in der Oberfläche des anziehenden Körpers noch in einer Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit liege.

 Nach dem Satze des vorigen Paragraphen ist das Integral (1) gleich


(3)


wenn mit die Dichtigkeit im Punkte bezeichnet wird. Folglich erhält man aus (2) und (3)


(4)


Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes von Laplace. Wir haben sie an einem Beispiele bereits in §. 5, Gleichung (8) kennen gelernt. Hier ist sie für jeden Punkt bewiesen, der innerhalb eines beliebig gestalteten, mit Masse erfüllten Raumes liegt,