Schwere, Elektricität und Magnetismus:059

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Verallgemeinerung des Satzes von Laplace.

für die andere

$N=-\left({\frac {\partial V}{\partial x}}\right)_{x+dx}$.

Folglich liefern die beiden eben betrachteten Flächen zu dem Integral

(1)	$\int N\,d\sigma$

den Beitrag

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}\,dx\,dy\,dz.$

Ebenso findet sich

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}\,dx\,dy\,dz$

als der Beitrag, welchen die beiden zur $y\,$Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen liefern, und

$-{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\,dx\,dy\,dz$

als der Beitrag, welcher von den beiden zur $z\,$ Axe rechtwinkligen Begrenzungsflächen herrührt. Das Integral (1), über die ganze Begrenzung des Parallelepipedon erstreckt, hat also den Werth

(2)	$-\left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$

Dabei ist vorausgesetzt, dass ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ je einen bestimmten endlichen Werth haben, dass also der Punkt $(x,\,y,\,z)$ weder in der Oberfläche des anziehenden Körpers noch in einer Unstetigkeitsstelle der Dichtigkeit liege.

 Nach dem Satze des vorigen Paragraphen ist das Integral (1) gleich

(3)	$4\pi \,\rho \,dx\,dy\,dz,$

wenn mit $\rho \,$ die Dichtigkeit im Punkte $(x,\,y,\,z)$ bezeichnet wird. Folglich erhält man aus (2) und (3)

(4)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=-4\pi \rho .$

Dies ist die Verallgemeinerung des Satzes von Laplace. Wir haben sie an einem Beispiele bereits in §. 5, Gleichung (8) kennen gelernt. Hier ist sie für jeden Punkt $(x,\,y,\,z)$ bewiesen, der innerhalb eines beliebig gestalteten, mit Masse erfüllten Raumes liegt,