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Schwere, Elektricität und Magnetismus:057

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 43
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Satz von Gauss.


 Ist die Masse über eine Kante der Oberfläche von vertheilt, so hat man sie in Linienelemente zu zerlegen. Die Masse eines solchen Linienelementes kann man sich in einem Punkte desselben concentrirt denken. Fur diesen Punkt hat man das Integral


(7)


nach Anleitung des vorigen Paragraphen zu ermitteln. Der Werth des Integrals ist mit zu multipliciren und hierauf eine neue Integration über die mit Masse erfüllte Kante auszuführen.

 Wenn endlich die Masse in einem Punkte concentrirt ist, der entweder an einer stetig gekrümmten Stelle oder in einer Kante oder Spitze der Oberfläche von liegt, so hat man wieder den Werth des Integrals (7) nach dem Satze des vorigen Paragraphen zu ermitteln und diesen mit zu multipliciren.

 Beispielsweise sei der Raum ein rechtwinkliges Parallelepipedon. Befindet sich in seinem Innern die endliche Masse , dagegen keine Masse in der Oberfläche, so ist



Ist die Masse über die Oberfläche ausgebreitet, aber im Innern und in den Kanten und Ecken keine endliche Masse vorhanden, so hat man



Ist die Masse M allein über die Kanten vertheilt, so findet sich



Wenn endlich nur in den Eckpunkten sich Masse befindet, deren gesammtes Quantum ist, so ist



Es ist nicht unwichtig, hier noch eine Bemerkung zu machen. Versteht man unter die Potentialfunction der anziehenden Masse auf den Punkt , so hat man


(8)