Schwere, Elektricität und Magnetismus:057

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 43
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Satz von Gauss.

 Ist die Masse $M\,$ über eine Kante der Oberfläche von $T\,$ vertheilt, so hat man sie in Linienelemente zu zerlegen. Die Masse $dm\,$ eines solchen Linienelementes kann man sich in einem Punkte $(a,\,b,\,c)\,$ desselben concentrirt denken. Fur diesen Punkt hat man das Integral

(7)	$\int {\frac {1}{r^{2}}}\cos(rn)\,d\sigma$

nach Anleitung des vorigen Paragraphen zu ermitteln. Der Werth des Integrals ist mit $dm\,$ zu multipliciren und hierauf eine neue Integration über die mit Masse erfüllte Kante auszuführen.

 Wenn endlich die Masse $M\,$ in einem Punkte concentrirt ist, der entweder an einer stetig gekrümmten Stelle oder in einer Kante oder Spitze der Oberfläche von $T\,$ liegt, so hat man wieder den Werth des Integrals (7) nach dem Satze des vorigen Paragraphen zu ermitteln und diesen mit $M\,$ zu multipliciren.

 Beispielsweise sei der Raum $T\,$ ein rechtwinkliges Parallelepipedon. Befindet sich in seinem Innern die endliche Masse $M\,$, dagegen keine Masse in der Oberfläche, so ist

$\int N\,d\sigma =4\pi \,M.$

Ist die Masse $M\,$ über die Oberfläche ausgebreitet, aber im Innern und in den Kanten und Ecken keine endliche Masse vorhanden, so hat man

$\int N\,d\sigma =2\pi \,M.$

Ist die Masse M allein über die Kanten vertheilt, so findet sich

$\int N\,d\sigma =\pi \,M.$

Wenn endlich nur in den Eckpunkten sich Masse befindet, deren gesammtes Quantum $=M\,$ ist, so ist

$\int N\,d\sigma ={\frac {1}{2}}\pi \,M.$

Es ist nicht unwichtig, hier noch eine Bemerkung zu machen. Versteht man unter $V\,$ die Potentialfunction der anziehenden Masse auf den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$, so hat man

(8)	$V=\int {\frac {dm}{r}}.$