Schwere, Elektricität und Magnetismus:055

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Satz von Gauss.

§. 12. Das Oberflächen-Integral $\int N\,d\sigma$. Satz von Gauss.

 Wir wollen das Resultat des vorigen Paragraphen verallgemeinern. Vorab werde folgende Bemerkumg gemacht. Wir haben einen beliebig, aber vollständig begrenzten Raum betrachtet und ihn mit $T\,$ bezeichnet. Ein Element dieses Raumes soll nun mit $dT\,$ bezeichnet werden. Der Ausdruck für $dT\,$ ist ein anderer, je nachdem man andere Coordinaten nimmt. So hat man z. B.

$dT=dx\,dy\,dz\,$

für rechtwinklige Coordinaten, dagegen

$dT=r^{2}\sin \theta \;dr\;d\theta \;d\varphi$

für Kugel-Coordinaten.

 Ein Flächen-Element wollen wir mit $d\sigma \,$ bezeichnen und ein Linien-Element mit $ds\,$. Die Ausdrücke für $d\sigma \,$ und für $ds\,$ sind ebenfalls abhängig von der Wahl der Coordinaten.

 Bisher ist fast ausschliesslich der Fall betrachtet, dass die anziehende Masse über einen Raum von drei Dimensionen stetig vertheilt ist, und dass nur in einem Raume von endlicher Grösse sich eine endliche Masse befindet. Der Allgemeinheit wegen sollen aber auch die beiden abstracten Fälle mit berücksichtigt werden, dass die Masse in einer Fläche oder in einer Linie stetig ausgebreitet ist, und dass in einer Fläche von endlicher Grösse oder resp. in einer Linie von endlicher Grösse eine endliche Masse zu finden ist. Bezeichnet man mit $dm\,$ ein Massenelement und mit $\rho \,$ die Dichtigkeit, so hat man

(1)	$dm=\rho \;dT^{*}$

bei räumlicher Vertheilung der Masse; dagegen

(2)	$dm=\rho \;d\sigma ^{*}$

bei der Vertheilung auf einer Fläche; und endlich

(3)	$dm=\rho \;ds^{*}$

bei der Vertheilung auf einer Linie. Dabei ist resp. mit $dT^{*}\,$, $d\sigma ^{*}\,$, $ds^{*}\,$ ein Element des Raumes, oder der Fläche oder der Linie bezeichnet, über welche die Masse vertheilt ist. Jedenfalls ist die Componente der Anziehung, welche auf den Punkt $(x,\,y,\,z)\,$ in der Richtung der wachsenden $n\,$ ausgeübt wird: