Schwere, Elektricität und Magnetismus:048

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 10.

 Der Beweis ist noch anwendbar auf die zweiten partiellen Derivirten, aber nur für solche Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$, für welche die Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen gelten. D. h. die zweiten partiellen Derivirten ändern sich stetig bei allen Verschiebungen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb oder innerhalb des anziehenden Körpers, die in endlicher, wenn auch noch so kleiner Entfernung sowohl von der Oberfläche, als auch von den Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit vorgenommen werden.

 Errichtet man nun gegen die Oberfläche des anziehenden Körpers in irgend einem Punkte derselben die Normale nach innen und nach aussen, so darf man auf der inneren wie auf der äusseren Normale den Punkt $(x,\,y,\,z)$ unendlich nahe an die Oberfläche heranrücken lassen, ohne dass die Functionen $V,\;{\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ aufhören, endliche und stetig variable Werthe anzunehmen. Für zwei Lagen des Punktes $(x,\,y,\,z)$ auf der inneren und auf der äusseren Normale in unendlich kleinem Abstande von der Oberfläche hat jede der vier Functionen zwei Werthe, die nur unendlich wenig abweichen von dem Werthe, welchen sie in dem Fusspunkte der Normale auf der Oberfläche selbst besitzt. Aus diesem Verhalten der Functionen ${\frac {\partial V}{\partial x}},\,{\frac {\partial V}{\partial y}},\,{\frac {\partial V}{\partial z}}$ folgt, dass die zweiten Derivirten von $V\,$ nicht unendlich gross werden können, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der inneren oder auf der äusseren Normale unendlich nahe an die Oberfläche heranrückt oder in den Fusspunkt der Normale auf der Oberfläche selbst übergeht. In diesem letztgenannten Punkte verlieren die Ausdrücke, welche wir für die zweiten Derivirten gefunden haben, alle Bedeutung. Das weist darauf hin, dass jede der zweiten Derivirten sich sprungweise ändert, wenn der Punkt$(x,\,y,\,z)$ beim stetigen Durchlaufen der Normale durch die Oberfläche des anziehenden Körpers von innen nach aussen oder von aussen nach innen hindurchgeht. In dem Beispiele des §. 5 ist diese Eigenschaft der zweiten Derivirten von $V\,$ direct nachgewiesen. Sie lässt sich aber für eine beliebig gestaltete Oberfläche des anziehenden Körpers beweisen. Man hat zu dem Ende, was ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ anlangt, die Integrale auf der rechten Seite der Gleichungen (1) des §. 9 für den Fall zu untersuchen, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der äusseren oder auf der inneren Normale unendlich nahe an die Oberfläche heranrückt.