Schwere, Elektricität und Magnetismus:044

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 9.

bestimmte, endliche Werthe besitzen. Bei den über die Oberfläche ausgedehnten Integralen auf der rechten Seite der Gleichungen (1) sind nemlich sämmtliche Elemente unendlich klein wie $d\sigma \,$, weil wir den angezogenen Punkt ausserhalb oder innerhalb der anziehenden Masse in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von der Oberfläche voraussetzen. Dass die sämmtlichen Elemente der dreifachen Integrale unendlich klein von dritter Ordnung sind, erkennt man ohne weiteres, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ ausserhalb der anziehenden Masse liegt. Für einen inneren Punkt beweist man es auf dem in §. 6 vorgezeichneten Wege.

 Legt man den Punkt $(x,\,y,\,z)$ in die Oberfläche des anziehenden Körpers, so behalten die Integrale, durch welche die Function $V\,$ und ihre ersten Derivirten ausgedrückt sind, bestimmte, endliche Werthe. Anders ist es aber mit den Integralen auf der rechten Seite der eben hergestellten Gleichungen (1). Die dreifachen Integrale haben zwar auch jetzt noch bestimmte, endliche Werthe. Aber die über die Oberfläche ausgedehnnten Integrale verlieren alle Bedeutung. Soll also von den Derivirten ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$ die Rede sein für einen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in der Oberfläche des anziehenden Körpers, so ist darüber noch eine besondere Untersuchung anzustellen.

 Die Transformation, welche zu den Gleichungen (2) des vorigen Paragraphen geführt hat und also auch für die Gleichungen (1) dieses Paragraphen die Grundlage bildet, ist nur dann zulässig, wenn die Dichtigkeit $\rho \,$ der anziehenden Masse eine durchweg stetige Function des Ortes ist. Es kann aber auch der Fall eintreten, dass der anziehende Körper aus einzelnen Bestandtheilen zusammengesetzt ist, so dass in jedem von ihnen die Dichtigkeit endlich und stetig variabel ist, aber beim Uebergange aus einem Bestandtheile in den andern sich sprungweise ändert. Die Trennungsflächen der einzelnen Bestandtheile sind dann Unstetigkeitsstellen der Dichtigkeit. Wir betrachten nun einen Punkt im Innern des anziehenden Körpers. Es ist zu unterscheiden, ob er in endlicher, wenn auch noch so kleiner, Entfernung von den Unstetigkeitsstellen sich befindet oder ob er in eine solche Stelle hineinfällt. Im ersten Falle kann man die anziehende Masse in zwei Bestandtheile zerlegen. Der erste Bestandtheil wird so gewählt, dass er den angezogenen Punkt $(x,\,y,\,z)$ in sich enthält, aber keine Unstetigkeits-