Schwere, Elektricität und Magnetismus:029

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Anziehung einer Kugelschale etc.

ziehenden Masse in unendlicher Entfernung liegt, so ergibt sich unmittelbar aus der Definition [§. 2, Gleichung (5)], dass $V=0\,$ ist für $s=\infty$. Folglich ist jetzt $\beta =0\,$. Um $\alpha \,$ zu bestimmen, stellen wir folgende Betrachtung an.

 Der angezogene Punkt, welcher vom Anfangspunkte der Coordinaten um die Strecke $s\,$ entfernt ist, hat von den einzelnen Punkten der Kugelschale verschiedene Abstände. Der grösste Abstand ist $s+q\,$, der kleinste $s-q\,$. Man hat also die doppelte Ungleichung

${\frac {1}{s-q}}>{\frac {1}{r}}>{\frac {1}{s+q}}.\,$

Wir multipliciren an allen drei Stellen mit $\rho \;da\;db\;dc$ und integriren über die gesammte anziehende Masse. An der mittleren Stelle ist das Resultat $=V\,$. An den beiden äusseren Stellen kann man die Nenner $s-q\,$ und $s+q\,$, die bei der Integration constant bleiben, vor das Integralzeichen nehmen. Beachtet man also, dass

$\iiint \rho \;da\;db\;dc=M,$

d. h. gleich der gesammten anziehenden Masse ist, so ergibt sich

${\frac {M}{s-q}}>V>{\frac {M}{s+q}}.\,$

Nun ist aber $V={\frac {\alpha }{s}}$, folglich

${\frac {M}{1-{\frac {q}{s}}}}>{\frac {\alpha }{M}}>{\frac {M}{1+{\frac {q}{s}}}}.$

Diese Ungleichung gilt für jedes $s\,$, das grösser als $q\,$ ist, also auch für $s=\infty$. Sie geht aber für $s=\infty$ über in die Gleichung

${\frac {\alpha }{M}}=1.\,$

Folglich ist die Potentialfunction der Kugelschale von der Masse $M\,$ in Beziehung auf einen Punkt im äusseren Raume

(11)	$V={\frac {M}{s}}.$

 In der Richtung des Radius vector wirkt die Kraft

$-{\frac {M}{s^{2}}},$