Schwere, Elektricität und Magnetismus/Vierter Abschnitt

Editionsrichtlinien, Quellenangaben und Zusammenstellung siehe: Schwere, Elektricität und Magnetismus.

Vierter Abschnitt.

Elektrostatik.

§. 44. Grundgesetz der Elektrostatik.

 Zur Erklärung der elektrischen Erscheinungen stellen wir die Hypothese auf, dass in jedem ponderablen Körper zwei imponderable elektrische Fluida vorhanden sind: das positive und das negative elektrische Fluidum.

 Die ponderablen Körper als Träger der Elektricität werden in zwei Klassen eingetheilt, in Leiter (Conductoren) und Nichtleiter (Isolatoren). Unter einem Leiter versteht man einen solchen ponderablen Körper, innerhalb dessen die elektrischen Flüssigkeiten sich vollkommen frei bewegen können. Unter einem Nichtleiter dagegen versteht man einen Körper, in welchem jedes kleinste Theilchen der elektrischen Flüssigkeiten an dem Körpermolekül haftet, dem es ursprünglich angehört hat. Zwar gibt es in der Natur keine vollkommenen Leiter und keine vollkommenen Nichtleiter. Vielmehr setzt jeder Leiter der Bewegung der elektrischen Theilchen einen, wenn auch sehr geringen, Widerstand entgegen, und in jedem Nichtleiter ist eine Lagenänderung der elektrischen Theilchen in seinem Innern nicht gänzlich ausgeschlossen, wenn sie auch nur sehr langsam zu Stande kömmt. Es erleichtert aber die Untersuchung der elektrostatischen Erscheinungen, wenn man bei den Leitern den sehr geringen Widerstand, bei den Nichtleitern die sehr geringe Beweglichkeit der elektrischen Theilchen ganz ausser Betracht lässt.

 Die elektrischen Fluida sind imponderabel, d. h. sie werden von der Schwerkraft nicht in Anspruch genommen. Dagegen übt jedes elektrische Theilchen auf jedes andere elektrische Theilchen eine bewegende Kraft aus. Zwei elektrische Theilchen haben gleiche Elektricitätsmengen, wenn jedes von ihnen unter gleichen Umständen auf ein und dasselbe dritte Theilchen nach Grösse und Richtung dieselbe Kraft ausübt.

 Nach dieser Definition erkennt man die Möglichkeit, gleiche Quantitäten desselben Fluidums herzustellen und in Folge davon, bei Annahme irgend einer Einheit, verschiedene Quantitäten desselben Fluidums zu messen. Es kömmt noch darauf an, mit demselben Maass auch die Elektricitätsmengen des anderen Fluidums zu messen. Zu dem Ende definiren wir weiter: Zwei elektrische Theilchen haben entgegengesetzt gleiche Elektricitätsmengen, wenn sie unter gleichen Umständen auf ein und dasselbe dritte Theilchen Kräfte ausüben, die an Grösse gleich, in der Richtung einander entgegengesetzt sind. Hiernach üben zwei gleiche Quantitäten des einen und des anderen elektrischen Fluidums, wenn sie in demselben Punkte des Raumes vereinigt sind, gar keine Kraft aus. Dies ist der Grund, weshalb man die beiden Flüssigkeiten als positives und negatives Fluidum unterschieden hat.

 Es ist nicht unwichtig, hier eine Bemerkung anzuknüpfen. Denken wir uns einen Körper, der durchaus keine elektrische Wirkung ausübt, so lässt sich sein elektrischer Zustand in doppelter Weise auffassen. Entweder nemlich kann man sagen: an jeder Stelle des Körpers ist die Elektricitätsmenge Null vorhanden. Oder man kann sagen: an jeder Stelle des Körpers ist eine Quantität positiver und eine eben so grosse Quantität negativer Elektricität in neutralem Gemisch vorhanden. Ist der Körper, der in diesem Zustande sich befindet, ein Leiter, so lehrt die Erfahrung, dass bei blosser Annäherung einer positiven oder negativen elektrischen Ladung ein Theil der Leiteroberfläche positive und der übrige Theil negative Elektricität zu erkennen gibt. Diese Thatsache lässt sich nur aus der zweiten Auffassung erklären, nemlich so, dass durch die in der Nähe befindliche elektrische Ladung der positive und der negative Bestandtheil des neutralen Gemisches in jedem inneren Punkte des Leiters nach entgegengesetzten Seiten auseinander getrieben werden. Ist diese Erklärung richtig, so muss nach der Scheidung ebenso viel positive wie negative Elektricität vorhanden sein. Auch dies ist durch das Experiment bestätigt.

 Die Erfahrung hat über die elektrostatische Wechselwirkung von zwei elektrischen Theilchen das folgende Gesetz festgestellt:

 Zwei elektrische Theilchen, welche in zwei Punkten concentrirt in Ruhe sich befinden, üben auf einander eine Kraft aus, deren Richtung in die Verbindungslinie der beiden Punkte fällt. Die Grösse der Kraft ist proportional dem Producte der beiden Elektricitätsmengen und umgekehrt proportional dem Quadrat ihrer Entfernung. Sie ist Abstossung, wenn die beiden elektrischen Theilchen gleichartig, sie ist Anziehung, wenn die Theilchen ungleichartig sind.

 Sind also $\varepsilon \,$ und $\varepsilon '\,$ zwei Zahlen, die nach Zahlwerth und Vorzeichen die Elektricitätsmenge des einen und des anderen elektrischen Theilchens angeben, und ist $r\!$ die Entfernung der beiden Theilchen, so ist

(1)	$K={\frac {\varepsilon \;\varepsilon '}{r^{2}}}$

die Kraft, welche sie in der Richtung der Verbindungslinie auf einander ausüben. Diese Kraft ist Abstossung oder Anziehung, je nachdem sie positiv oder negativ ist. Die Einheit der Elektricitätsmenge ist dabei so gewählt, dass $K=1\,$ ist, wenn $\varepsilon =\varepsilon '=1\,$ und $r=1\,$ ist.

§. 45. Aufgabe der Elektrostatik.

 Die Aufgabe der Elektrostatik lässt sich so aussprechen:

 Es ist eine Anzahl Isolatoren gegeben und in jedem von ihnen die Vertheilung der Elektricität bekannt. Ausserdem hat man $k\,$ Leiter, denen der Reihe nach die Elektricitätsmengen $m_{1},\,m_{2},\ldots m_{k}\,$ mitgetheilt sind. Es fragt sich, wie im Gleichgewichtszustande die Elektricität sich in jedem Leiter und an seiner Oberfläche vertheilt hat.

 Wir bezeichnen mit $V\,$ die Potentialfunction der gesammten Elektricität. Der Ausdruck für $V\,$ ist leicht herzustellen. Wir nehmen im Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ die positive Einheit der Elektricität an und bezeichnen mit $\varepsilon \,$ die Elektricitätsmenge im Punkte $(a,\,b,\,c)$. Mit $r\,$ werde der Abstand beider Punkte bezeichnet. Dann ist nach der Definition der Potentialfunction

(1)	$V=-\sum {\frac {\varepsilon }{r}},\,$

wenn die Summirung über alle elektrisch geladenen Punkte $(a,\,b,\,c)$ erstreckt wird. Bei stetiger Vertheilung der Elektricität geht die Summe in ein Integral über und man hat

(2)	$V=-\int {\frac {d\varepsilon }{r}}.$

Im Innern eines Leiters kann die Elektricität sich völlig frei bewegen. Es kann daher in einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ im Innern eines Leiters nicht anders Gleichgewicht stattfinden, als wenn die Componenten der bewegenden Kraft in diesem Punkte gleich Null sind. Also haben wir für jeden Punkt im Innern eines Leiters:

(3)	${\frac {\partial V}{\partial x}}=0,\quad {\frac {\partial V}{\partial y}}=0,\quad {\frac {\partial V}{\partial z}}=0.\,$

Daraus folgt unmittelbar, dass im Innern jedes Leiters

(4)	$V={\text{const.}}\!$

und

(5)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0$

ist. Nun lässt sich aber der Ausdruck (2), den wir hier für $V\!$ gefunden haben, vergleichen mit dem Ausdruck des §. 18, welcher die Potentialfunction einer anziehenden ponderablen Masse gibt. Dort ist $dm\!$ das Element der ponderablen Masse, hier $d\varepsilon \!$ das Element der elektrischen Ladung. Wenn man das eine durch das andere ersetzt, so ist hier $-V\!$ dasselbe wie dort $V\!$. Der Grund ist leicht einzusehen. Dort findet Anziehung statt, wenn $dm\!$ positiv, hier Abstossung, wenn $d\varepsilon \!$ positiv ist. Demnach gilt die Gleichung (2) des §. 18 auch hier, nur muss man, was dort $V\!$ war, ersetzen durch $-V\!$. Also gilt überall da, wo man die Elektricität über einen Raum von drei Dimensionen vertheilt findet, die folgende partielle Differentialgleichung

(6)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=4\pi \rho .$

 Hier bedeutet $\rho \!$ die elektrische Dichtigkeit im Punkte $(x,\,y,\,z)$, oder mit anderen Worten: es ist in einem Raumelemente $dx\,dy\,dz$, welches an den Punkt $(x,\,y,\,z)$ anstösst, die Elektricitätsmenge $\rho \,dx\,dy\,dz$ enthalten.

 Dies gilt auch für den Fall, dass der Punkt $(x,\,y,\,z)$ im Innern eines Leiters liegt.

 Aus der Vergleichung von (5) und (6) ergibt sich demnach, dass im Gleichgewichtszustande die Dichtigkeit im Innern jedes Leiters überall gleich Null ist. Die elektrischen Ladungen der Leiter sind also mit endlicher Dichtigkeit über ihre Oberflächen ausgebreitet. Um die Dichtigkeit in einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ der Oberfläche zu finden, bemerken wir, dass auch der Satz (3) des §. 18 hier gültig ist mit der Modification, dass hier $-V\!$ zu schreiben ist, wo dort $V\!$ steht. Bezeichnen wir also mit $p\!$ eine Strecke, die vom Punkte $(x,\,y,\,z)$ aus auf der Normale der Oberfläche gezählt wird, negativ nach dem Innern des Leiters zu, positiv nach aussen, so ergibt sich

(7)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=4\pi \rho .\,$

Nun ist aber im Innern des Leiters und (wegen der Stetigkeit) auch in der Oberfläche $V={\text{const.}}\!$ Folglich haben wir

$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=0,\,$

und die Gleichung (7) geht über in

(8)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}=4\pi \rho .$

 Es fragt sich jetzt, wie gross die Elektricitätsmenge ist, welche sich auf der Oberfläche irgend eines Leiters angesammelt hat. Zunächst das Quantum $m\!$, welches ihm ursprünglich mitgetheilt worden. Dazu kommen noch die positiven und die negativen Elektricitätsmengen, welche unter der Einwirkung aller überhaupt vorhandenen Ladungen aus dem neutralen Gemisch des betrachteten Leiters ausgeschieden sind. Das Quantum der durch Scheidung hervorgerufenen positiven Elektricität ist aber ebenso gross wie das der negativen. Demnach ist die algebraische Summe aller auf der Oberfläche eines Leiters vorhandenen Elektricität gleich der Elektricitätsmenge $m\!$, welche ihm ursprünglich mitgetheilt worden.

 Es sei $d\sigma _{1}\!$ ein Oberflächen-Element des ersten Leiters. Wir errichten in einem Punkte $(x,\,y,\,z)$ dieses Elementes die Normale, auf welcher von ihrem Fusspunkte aus die Strecke $p\!$ negativ nach innen, positiv nach aussen gezählt wird, und bilden das Product

${\frac {1}{4\pi }}\,\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{1}.$

Dasselbe gibt, wie man aus Gleichung (8) ersieht, die Elektricitätsmenge an, welche über das Oberflächen-Element $d\sigma _{1}\!$ ausgebreitet ist. Führt man also eine Integration über die ganze Oberfläche des ersten Leiters aus, so erhält man die gesammte Elektricitätsmenge, welche auf dieser Oberfläche sich befindet. In derselben Weise hat man rücksichtlich aller übrigen Leiter zu verfahren und gelangt so zu den Gleichungen:

(9)

$m_{1}=\,{\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{1},$ $m_{2}=\,{\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{2},$ $\cdots \cdots$ $m_{k}=\,{\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{k}.$

 Die Integrationen sind der Reihe nach über die Oberfläche jedes einzelnen Leiters zu erstrecken.

§. 46. Fortsetzung: Lösung der Aufgabe.

 Wir wollen mit $a_{1},a_{2},\ldots a_{k}\!$ die constanten Werthe bezeichnen, welche nach eingetretenem Gleichgewichtszustande die Potentialfunction $V\!$ im Innern und auf der Oberfläche der einzelnen Leiter besitzt. Die Grössen $a_{1},a_{2},\ldots a_{k}\!$ stehen mit den Grössen $m_{1},m_{2},\ldots m_{k}$ in einem Zusammenhange, der jetzt näher untersucht werden soll. Zu dem Ende ist es zweckmässig, die Potentialfunction $V\!$ in folgender Weise in einzelne Bestandtheile zu zerlegen.

 Es sei $u_{i}\!$ eine Function von $x,\,y,\,z,$ die im ganzen unendlichen Raume der Gleichung von Laplace Genüge leistet:

(1)	${\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial y^{2}}}\,+\,{\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial z^{2}}}=0,$

die in der Oberfläche und im Innern des $i\!$ten Leiters den Werth 1, in der Oberfläche und im Innern aller übrigen Leiter den Werth 0 besitzt. Wir nehmen $i\!$ der Reihe nach $=1,2,3,\ldots k,\!$ und stellen so die $k\!$ Functionen $u_{1},u_{2},u_{3},\ldots u_{k}$her. Dann ist die Differenz

$V-(a_{1}\,u_{1}+a_{2}\,u_{2}+\ldots +a_{k}\,u_{k})=w,$

eine Function, die in der Oberfläche und im Innern sämmtlicher Leiter den Werth Null hat, die überall ausserhalb der Isolatoren der Gleichung von Laplace genügt und für einen Punkt im Innern eines Isolators in derselben Weise wie die Potentialfunction die Dichtigkeit der Elektricität kundgibt. Wir haben dann also

(2)	$V=a_{1}\,u_{1}+a_{2}\,u_{2}+\dotsb +a_{k}\,u_{k}+w,$

und hieraus

${\frac {\partial V}{\partial p}}\,=\,a_{1}\,{\frac {\partial u_{1}}{\partial p}}\,+\,a_{2}\,{\frac {\partial u_{2}}{\partial p}}\,+\dotsb +\,a_{k}\,{\frac {\partial u_{k}}{\partial p}}\,+\,{\frac {\partial w}{\partial p}}.$

Nehmen wir nun das Integral

${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q},$

ausgedehnt über die Oberfläche des $q\!$ten Leiters, und setzen zur Abkürzung

(3)	${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q}=\mu _{q_{i}},$

(4)	${\frac {1}{4\pi }}\,\int \left({\frac {\partial w}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{q}=\nu _{q},$

so gehen die Gleichungen (9) des vorigen Paragraphen in folgende über:

(5)

${\begin{alignedat}{2}m_{1}=\mu _{11}\,a_{1}+\mu _{12}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{1k}\,a_{k}+\nu _{1}&&,\\m_{2}=\mu _{21}\,a_{1}+\mu _{22}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{2k}\,a_{k}+\nu _{2}&&,\\\qquad \cdot \qquad \cdot \qquad \cdot \qquad &\dotsb \qquad \cdot \qquad \cdot &&,\\m_{k}=\mu _{k1}\,a_{1}+\mu _{k2}\,a_{2}+&\dotsb +\mu _{kk}\,a_{k}+\nu _{k}&&.\\\end{alignedat}}$

 Die physikalische Bedeutung dieser Gleichungen ist leicht zu erkennen. Wird ein Leiter durch einen unendlich dünnen Draht mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt, so ist in seiner Oberfläche und in seinem Innern die Potentialfunction gleich Null, weil sie in der Erde (in unendlicher Entfernung) den Werth Null hat. Nehmen wir also den Fall, dass in den Isolatoren keine Elektricität vorhanden und dass alle Leiter, mit Ausnahme des $q\!$ten, mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt sind, so reducirt sich die Potentialfunction auf

$V=a_{q}u_{q},\!$

und die auf den einzelnen Leitern vorhandenen Elektricitätsmengen sind resp.

$u_{1q}\,a_{q},\,u_{2q}\,a_{q},\ldots u_{kq}\,a_{q}.$

Ebenso findet sich, dass

$\nu _{1},\,\nu _{2},\ldots \nu _{k}.$

die Elektricitätsmengen auf den einzelnen Leitern sein würden, wenn alle ableitend berührt sind und nur die Ladungen der Isolatoren wirken.

 Es lässt sich beweisen, dass $\mu _{iq}=\mu _{qi}\!$ ist. Nehmen wir nemlich das Integral

$\int \left(u_{i}\,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}-u_{q}\,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\right)d\sigma ,$

ausgedehnt über sämmtliche Leiter-Oberflächen, so ist der Werth desselben nach dem Satze von Green gleich Null. Das Integral reducirt sich aber wegen der Eigenschaften der Functionen $u\!$ auf die Differenz

$\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}-\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q},$

wobei das erste Integral nur über die Oberfläche des $i\!$ten, das zweite nur über die Oberfläche des $q\!$ten Leiters zu erstrecken ist. Demnach haben wir

$\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}-\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q}=0,$

oder

${\frac {1}{4\pi }}\,\int \,{\frac {\partial u_{q}}{\partial p}}\,d\sigma _{i}={\frac {1}{4\pi }}\,\int \,{\frac {\partial u_{i}}{\partial p}}\,d\sigma _{q},$

d. h. nach Gleichung (3):

(6)	$\mu _{iq}=\mu _{qi}.\,$

 Lösen wir die Gleichungen (5) in Beziehung auf $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}\,$ als Unbekannte auf, so ergibt sich

(7)

${\begin{alignedat}{2}a_{1}=\alpha _{11}m_{1}+\alpha _{12}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{1k}m_{k}+\beta _{1}&,\\a_{2}=\alpha _{21}m_{1}+\alpha _{22}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{2k}m_{k}+\beta _{2}&,\\\qquad \cdot \qquad \cdot \qquad \cdot \qquad &\dotsb \qquad \cdot \qquad \cdot &,\\a_{k}=\alpha _{k1}m_{1}+\alpha _{k2}m_{2}+&\dotsb +\alpha _{kk}m_{k}+\beta _{k}&.\\\end{alignedat}}$

 Die Coefficienten $\alpha \!$ genügen in Folge der Gleichung (6) den Bedingungen, dass

(8)	$\alpha _{iq}=\alpha _{qi}.\,$

§. 47. Bewegung der Leiter. Das elektrostatische Potential.

 Sind die Leiter beweglich, so ändern sie in Folge der elektrischen Anziehung und Abstossung ihre Lage. Für jede neue Lage der Leiter ist aber auch die Gleichgewichtslage der elektri- schen Theilchen eine andere. Mit der Bewegung der Leiter ist also eine fortwährende Aenderung in der Vertheilung der Elektricität auf den Leiter-Oberflächen verbunden. Diese geht aber so rasch vor sich, dass man in jedem einzelnen Augenblicke der Bewegung der ponderabeln Leiter das Gleichgewicht der Elektricität als hergestellt ansehen kann.

 Die elektrischen Theilchen $\varepsilon _{\mu }\!$ und $\varepsilon _{\nu }\!$, die wir in zwei um die Strecke $r\!$ von einander entfernten Punkten concentrirt denken, üben auf einander eine abstossende Kraft

${\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r^{2}}}.\,$

Das Potential dieser beiden Theilchen ist also

$F(r)=\int {\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r^{2}}}\,dr=-{\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r}},\,$

und das Gesammtpotential der elektrischen Massen ist

(1)	$P=-\sum \,{\frac {\varepsilon _{\mu }\,\varepsilon _{\nu }}{r}},\,$

wobei die Summirung sich auf alle Combinationen von je zwei elektrischen Theilchen bezieht. Die Formel (1) setzt voraus, dass die Elektricitäten in einzelnen discreten Punkten concentrirt sind. Bei einer stetigen Vertheilung über die Oberflächen der Leiter und über den Raum der Nichtleiter tritt eine Integration an die Stelle der Summirung. Wir bezeichnen mit $d\varepsilon \!$ die Elektricitätsmenge, welche in einem Raum-, resp. in einem Flächen-Elemente sich befindet. Dann ist

(2)	$P=-\int \,{\frac {d\varepsilon \cdot d\varepsilon '}{r}},\,$

und die Integration ist nun auszudehnen über alle Combinationen von je zwei elektrischen Theilchen $d\varepsilon \!$ und $d\varepsilon '\!$. Dafür lässt sich auch schreiben

(3)	$P=-{\frac {1}{2}}\,\int \,d\varepsilon \,\,\int \,{\frac {d\varepsilon '}{r}},\,$

wobei jede der beiden Integrationen über alle elektrischen Theilchen zu erstrecken ist. Bei dieser Art, die Integration auszuführen, kommt jede Combination von zwei Theilchen doppelt vor. Da sie aber nur einmal genommen werden soll, so ist der Factor ${\frac {1}{2}}$ vorangesetzt. Dies ist das Potential der gesammten Elektricität auf sich selbst.

 Nun haben wir aber

$V=-\int \,{\frac {d\varepsilon '}{r}}\,$

als Ausdruck für die Potentialfunction im Punkte $(x,\,y,\,z)$ gefunden, d. h. für das Potential aller elektrischen Massen auf die in diesem Punkte concentrirt gedachte positive elektrische Einheit. Wir können also auch schreiben

(4)	$P={\frac {1}{2}}\,\int Vd\varepsilon .\,$

In dem Falle, dass die Isolatoren keine elektrische Ladung enthalten, ist die Integration nur über die Oberflächen der Leiter zu erstrecken. In jeder Leiter-Oberfläche ist aber $V\!$ constant, und zwar der Reihe nach gleich $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}$. Also wird jetzt

$P={\frac {1}{2}}\,a_{1}\int \rho \,d\sigma _{1}+\,{\frac {1}{2}}\,a_{2}\int \rho \,d\sigma _{2}+\dotsb +{\frac {1}{2}}\,a_{k}\int \rho \,d\sigma _{k}$

oder, mit Rücksicht auf die Gleichungen (8) und (9) des §. 45:

(5)	$P={\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{k}\,\alpha _{i}m_{i}.\,$

 Um die Bewegung der Leiter zu bestimmen, hat man $P\!$ als Function von den Ortscoordinaten der Leiter auszudrücken. Die Grössen $m_{1},\,m_{2},\ldots m_{k}$ sind dabei constant, es sind die den Leitern ursprünglich mitgetheilten Elektricitätsmengen. Die Grössen $a_{1},\,a_{2},\ldots \,a_{k}$ sind in den Gleichungen (7) des vorigen Paragraphen ausgedrückt, wenn man darin für den hier vorliegenden Fall die Grössen $\beta _{1},\,\beta _{2},\ldots \beta _{k}$ gleich Null setzt. Danach sind die Grössen $a_{1},\,a_{2},\ldots a_{k}$ homogene lineare Functionen von $m_{1},\,m_{2},\ldots m_{k}$ und nur die auftretenden Coefficienten $\alpha \!$ sind von den Ortscoordinaten der Leiter abhängig. Wir erhalten

(6)	$P={\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{k}\,\alpha _{ij}m_{i}m_{j}.\,$

Wir bezeichnen wieder mit $T\!$ die lebendige Kraft des Leitersystems. Die Bewegung der Leiter geht dann so vor sich, dass

(7)	$\delta \int \limits _{0}^{t}(T+P)\,dt=0.$

Wie aus dieser Bedingung die Differentialgleichungen der Bewegung abzuleiten, ist in den §§. 36 bis 42 auseinandergesetzt.

§. 48. Beispiel: Zwei elektrisch geladene Kugeln.

 Wir wenden uns zu der Behandlung einer speciellen Aufgabe. Es seien als Leiter zwei Kugeln gegeben, deren Radien $a\!$ und $b\!$ sind und deren Mittelpunkte die Entfernung $c\!$ haben, die grösser als $a+b\!$ vorausgesetzt wird. In den Isolatoren soll keine Elektricität vorhanden sein. Jedem der beiden Leiter ist eine gewisse Elektricitätsmenge mitgetheilt, und nach Eintritt des Gleichgewichtszustandes hat die Potentialfunction $V\!$ im Innern und auf der Oberfläche der beiden Kugeln je einen constanten Werth. Wir bezeichnen denselben mit $g\!$ für die erste Kugel, mit $h\!$ für die zweite Kugel.

 Die Aufgabe besteht darin, die Potentialfunction $V\!$, von den Werthen $g\!$ und $h\!$ in den Kugeloberflächen ausgehend, so in den äusseren Raum fortzusetzen, dass sie überall endlich und stetig verläuft, dass sie in unendlicher Entfernung gleich Null wird wie der reciproke Werth des Abstandes von dem Anfangspunkte der Coordinaten, und dass sie überall der partiellen Differentialgleichung genügt:

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

 Die Derivirten von $V\!$ sind dann ebenfalls überall endlich und ändern sich stetig, ausser beim Durchgange durch die eine oder die andere Kugeloberfläche.

 Diese Aufgabe lässt sich nach der Methode von Green behandeln. Die Hülfsfunction $U\!$ ist dann eine Potentialfunction, die von der im Punkte $(x',\,y',\,z')$ des äusseren Raumes concentrirt gedachten negativen elektrischen Einheit*)^[1] herrührt unter der Vor- aussetzung, dass die Kugeln durch unendlich dünne Drähte mit der Erde in leitende Verbindung gesetzt sind.

 Wir wollen diesen Weg nicht einschlagen, sondern die Function $V\!$ direct bestimmen. Da es nur noch darauf ankommt, dieselbe für alle Punkte des äusseren Raumes herzustellen, so ist es gleichgültig, wie wir sie durch die Kugeloberflächen hindurch in das Innere fortsetzen. Wir müssen nur nachher bei dem Gebrauche der Function $V\!$ die zu Hülfe genommenen Fortsetzungen fallen lassen und im Innern der Kugeln die wahren Werthe $g\!$ und resp. $h\!$ wieder aufnehmen.

 Nun liegt aber eine Schwierigkeit der Aufgabe darin, dass die Derivirten der für den ganzen Raum richtig bestimmten Potentialfunction $V\!$ beim Durchgange durch die Kugeloberflächen unstetig sind. Wir wollen deshalb die für den äusseren Raum richtig bestimmte Function $V\!$ nach einer noch näher festzustellenden Vorschrift so ins Innere der Kugeln fortsetzen, dass sie selbst und ihre Derivirten beim Durchgang durch die Kugeloberflächen sich stetig ändern. Oder mit anderen Worten: wir betrachten eine andere Function $V'\!$, die im äusseren Raume mit der gesuchten Potentialfunction $V\!$ übereinstimmt, im Innern der Kugeln aber nicht. Vielmehr soll sie mit ihren sämmtlichen Derivirten beim Durchgange durch die Kugeloberflächen sich stetig ändern, und es soll der Functionswerth für einen Punkt im Innern der einen oder der anderen Kugel nach einem noch vorzuschreibenden Gesetze mit dem Functionswerthe in einem entsprechenden Punkte ausserhalb der Kugel im Zusammenhange stehen.

 Wir verbinden einen Punkt $(x,\,y,\,z)$, der ausserhalb der ersten Kugel liegt, mit dem Mittelpunkte dieser Kugel und bezeichnen den Abstand mit $r\!$. Alsdann suchen wir auf der Verbindungslinie den Punkt, dessen Entfernung $r\!$ von dem ersten Kugelmittelpunkte der Bedingung genügt:

(2)	$r\,r'=a^{2}.$

Dieser Punkt, der im Innern der ersten Kugel liegt, soll das Bild des betrachteten äusseren Punktes genannt werden. Ebenso verbinden wir einen Punkt $(x,\,y,\,z)$, der ausserhalb der zweiten Kugel liegt, mit dem Mittelpunkte derselben und bezeichnen den Abstand mit $s\!$. Auf der Verbindungslinie suchen wir dann den Punkt, dessen Entfernung $s'\!$ vom zweiten Kugelmittelpunkte an die Bedingung geknüpft ist:

(3)	$s\,s'=b^{2}.$

Diesen Punkt, der im Innern der zweiten Kugel liegt, nennen wir das Bild des äusseren Punktes.

 Denken wir uns nun, die gesuchte Function $V'\!$ sei für jeden Punkt des äusseren Raumes bereits hergestellt. Wir setzen sie ins Innere der ersten Kugel so fort, dass

(4)	$(V'-g)_{r'}=-\,{\frac {r}{a}}\,(V'-g)_{r}$

ist, und in das Innere der zweiten Kugel so, dass

(5)	$(V'-h)_{s'}=-\,{\frac {s}{b}}\,(V'-h)_{s}.$

Die Indices $r\!$ und $r'\!$ in der Gleichung (4) sollen andeuten, dass es sich um die Werthe der Function $V'-g\!$ in den Abständen $r\!$ und $r'\!$ vom ersten Kugelmittelpunkte handelt. Stillschweigend ist dabei vorausgesetzt, dass diese Abstände auf demselben Radius vector gezählt werden und dass sie die Gleichung (2) erfüllen. In entsprechender Weise hat man die Indices in der Gleichung (5) zu verstehen.

 Durch die Gleichung (4) kann man sich die zweite Kugel innerhalb der ersten abbilden und hierauf durch die Gleichung (5) von diesem Bilde wieder das Bild innerhalb der zweiten Kugel herstellen. Fährt man auf diese Weise fort, indem man abwechselnd die Gleichungen (4) und (5) in Anwendung bringt, so ergeben sich Bilder, die wir der Reihe nach das erste, zweite und dritte Bild u. s. f. der zweiten Kugel nennen wollen. Es lässt sich leicht beweisen, dass alle Bilder kugelförmig sind, dass jedes folgende kleiner ist als das vorhergehende, und dass von den Bildern innerhalb derselben Kugel jedes folgende ganz innerhalb des vorhergehenden liegt. Wenn man also die Anwendung der Gleichungen (4) und (5) unaufhörlich wiederholt, so gelangt man in beiden Kugeln zu Bildern, deren Rauminhalt kleiner ist als jede angebbare Zahl.

 Durch die Gleichung (4) wird die Function $V'\!$ in das Innere der ersten Kugel fortgesetzt, und zwar zunächst so, dass nur das erste Bild der zweiten Kugel als der Raum übrig bleibt, innerhalb dessen die Function noch nicht bekannt ist. Wendet man dann die Gleichung (5) an, so bleibt innerhalb der zweiten Kugel nur ihr zweites Bild als das Gebiet übrig, für welches man die Function noch nicht kennt. Bringt man so fortfahrend die Gleichungen (4) und (5) abwechselnd in Anwendung, so kann man in beiden Kugeln das Gebiet, innerhalb dessen die Function unbekannt bleibt, beliebig klein machen und kleiner als irgend eine angebbare Zahl.

 Es fragt sich nun, wo $V'=\infty \!$ wird. Da die Function im ganzen äusseren Raume endlich ist, so kann ein Unendlichwerden nur im Innern der Kugeln eintreten. Und zwar sieht man zunächst aus Gleichung (4), dass $V'_{r'}=\infty \!$ wird für $r'=0\!$, und aus Gleichung (5), dass $V'_{s'}=\infty \!$ für $s'=0\!$. Denn für $r'=0\!$ ist $r=\infty \!$ und $\lim r\,V'_{r}$ endlich, und für $s'=0\!$ ist $s=\infty \!$ und $\lim s\,V'_{s}$ endlich. Folglich ergibt sich

für $r'=0\qquad V'=\infty \,$ wie ${\frac {ag}{r'}},$

für $s'=0\qquad V'=\infty \,$ wie ${\frac {bh}{s'}}.$

Hieraus erkennt man , dass die Function $V'\!$ unendlich wird in beiden Kugelmittelpunkten. Nach Vorschrift der Gleichungen (4) und (5) wird sie dann aber ebenfalls unendlich in den sämmtlichen Bildpunkten sowohl des einen wie des anderen Kugelcentrums. Diese Bildpunkte liegen innerhalb der Kugeln zwischen beiden Mittelpunkten auf der Centrallinie, und ihre Anzahl ist für jede der beiden Kugeln unendlich gross. Die Function $V'\!$ kann also aufgefasst werden als Potentialfunction, herrührend von elektrischen Ladungen, die in den Kugelmittelpunkten und deren unendlich vielen Bildpunkten concentrirt sind.

 Wir wollen die Punkte, in welchen die Function $V'\!$ unendlich wird, in vier Gruppen abtheilen, nemlich

  erstens: den Mittelpunkt der ersten Kugel und seine Bilder im Innern der ersten Kugel;

  zweitens: die Bilder des ersten Kugelmittelpunktes im Innern der zweiten Kugel;

  drittens: den Mittelpunkt der zweiten Kugel und seine Bilder im Innern der zweiten Kugel;

  viertens: die Bilder des zweiten Kugelmittelpunktes im Innern der ersten Kugel.

 Wir legen den Anfangspunkt eines rechtwinkligen Coordinatensystems in den Mittelpunkt der ersten Kugel und die Axe der positiven $x\!$ in die Centrallinie. Für sämmtliche Unstetigkeitspunkte ist dann $y=0\!$ und $z=0\!$. Ihre erste Coordinate soll der Reihe nach bezeichnet werden für die erste Gruppe mit $x'_{0},\,x'_{1},\,x'_{2},\ldots$, für die zweite Gruppe mit $x''_{1},\,x''_{2},\,x''_{3},\ldots$, für die dritte Gruppe mit $x'''_{0},\,x'''_{1},\,x'''_{2},\ldots$, und für die vierte Gruppe mit $x''''_{1},\,x''''_{2},\,x''''_{3},\ldots$ Die Elektricitätsmenge, welche wir in irgend einem der Unstetigkeitspunkte anzunehmen haben, möge mit dem Buchstaben $m\!$ bezeichnet werden, dem wir dieselben Indices beifügen, wie der $x\!$-Coordinate des zugehörigen Punktes.

 Nach §. 45, Gleichung (1) ist dann zu setzen:

(6)	$V'=V'_{1}+V'_{2}+V'_{3}+V'_{4}:\,$

(7)

$V'_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}}{\sqrt {(x-x'_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\,$ $V'_{2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''_{k}}{\sqrt {(x-x''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\,$ $V'_{3}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'''_{k}}{\sqrt {(x-x'''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}},\,$ $V'_{4}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''''_{k}}{\sqrt {(x-x''''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}.\,$

Die nächste Aufgabe besteht darin, für jeden Unstetigkeitspunkt die beiden constanten Grössen zu bestimmen, welche seine Lage und die in ihm concentrirt gedachte Elektricitätsmenge angeben. Diese Aufgabe soll in den beiden nächsten Paragraphen behandelt werden. Vorläufig beschränken wir uns auf eine Bemerkung, die nicht unwichtig ist. Aus der Art, wie die Function $V'\!$ in den Kugelmittelpunkten unstetig wird, und aus dem Abbildungsgesetz [Gleichungen (4) und (5)] geht nemlich hervor, dass sämmtliche Elektricitätsmengen der ersten und der zweiten Gruppe proportional der Grösse $g\!$, und dass sämmtliche Elektricitätsmengen der dritten und der vierten Gruppe proportional der Grösse $h\!$ sind. Es werden also in den Entwicklungen von $V'_{1}\!$ und $V'_{2}\!$ sämmtliche Glieder mit dem Factor $g\!$, und in den Entwicklungen von $V'_{3}\!$ und $V'_{4}\!$ sämmtliche Glieder mit dem Factor $h\!$ behaftet sein.

§. 49. Fortsetzung: Fingirte Ladungen einzelner Punkte.

 Wir wollen zunächst den Punkt $(x,\,y,\,z)$ auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln nehmen. Es ist also $c-b\geq x\geq a\!$, $y=z=0\!$, und wir haben

(1)	$V'_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}}{x-x'_{k}}},\qquad V'_{2}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''_{k}}{x''_{k}-x}},$ $V'_{3}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'''_{k}}{x'''_{k}-x}},\qquad V'_{4}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''''_{k}}{x-x''''_{k}}}.$

 Hier hat man besonders die Nenner zu beachten. Sie sind dadurch entstanden, dass man in den Gleichungen (7) des vorigen Paragraphen $y=z=0\!$ setzt und die Quadratwurzeln auszieht. Aber es sind, dem Wesen der Potentialfunction entsprechend, immer die positiven Wurzeln zu nehmen. Will man also für eine der in (1) ausgedrückten Functionen die Variable $x\!$ über das vorgeschriebene Gebiet hinausgehen lassen, so hat man die Vorsicht zu beobachten, dass jedesmal nach Ueberschreitung eines Unstetigkeitspunktes derjenige Nenner, welcher in diesem Punkte Null wird, wieder positiv gemacht, d. h. mit -1 multiplicirt werden muss. Lässt man dagegen die Variable $x\!$ nur auf solche Gebiete übergehen, die keinen Unstetigkeitspunkt der betreffenden Function enthalten, so bleibt der in (1) gegebene Ausdruck ohne weiteres gültig. Es darf also die Variable $x\!$ in $V'_{1}\!$ und in $V'_{4}\!$ auch grösser als $c-b\!$, in $V'_{2}\!$ und in $V'_{3}\!$ auch kleiner als $a\!$ gemacht werden, ohne dass die Ausdrücke (1) ihre Gültigkeit verlieren.

 Wir schreiben zur Abkürzung:

(2)	${\frac {r}{a}}=\eta ,\,$

(3)	${\frac {s}{b}}=\zeta .\,$

Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen den beiden Kugeln gilt die Gleichung

(4)	$a\,\eta +b\,\zeta =c,\,$

in welcher $\eta \!$ und $\zeta \!$ beide positiv und nicht kleiner als 1 sind. Die Function $V'\!$ kann in doppelter Weise aufgefasst werden, je nachdem man $\eta \!$ oder $\zeta \!$ als unabhängige Variable ansieht. Wir setzen also

(5)	$V'=\varphi (\eta )=\chi (\zeta ).\!$

Die Gleichungen (4) und (5) des vorigen Paragraphen lauten jetzt:

(6)	$\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)\,-g=-\eta \,\lbrace \varphi (\eta )-g\rbrace ,$

(7)	$\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)\,-h=-\zeta \,\lbrace \chi (\zeta )-h\rbrace .$

Aus (5), (6) und (7) folgt

(8)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi \,\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi \,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}+g-{\frac {h}{\zeta }}-h.$

Um dieser Functionalgleichung in bequemer Weise genügen zu können, zerlegen wir jede der beiden Functionen $\varphi \!$ und $\chi \!$ in zwei Bestandtheile

(9)	$\varphi (\eta )=\varphi _{1}(\eta )+\varphi _{2}(\eta ),\!$

(10)	$\chi (\zeta )=\chi _{1}(\zeta )+\chi _{2}(\zeta ),\!$

und setzen fest, dass

$\varphi _{1}(\eta )=\chi _{1}(\zeta ),\!$

$\varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta ),\!$

sein soll. Der Gleichung (8) ist Genüge geleistet, wenn

(11)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {g}{\eta }}\,-g={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\,\left({\frac {1}{\zeta }}\right)$

(12)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{2}\left({\frac {1}{\eta }}\right)={\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{2}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-\,{\frac {h}{\zeta }}-h$

gesetzt wird. Da $\varphi \!$ eine Potentialfunction ist, so findet man leicht die Form der Entwicklung im allgemeinen, nemlich

(13)	$\varphi _{1}(\eta )=\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\eta +q_{k}}},\,$

und es kommt nur noch darauf an, die Coefficienten $p\!$ und $q\!$ zu bestimmen. Nach der über $\chi _{1}\!$ getroffenen Bestimmung ist

(14)	$\chi _{1}(\zeta )=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b}{a}}\,\zeta \right)+q_{k}}}.\,$

 Aus den Gleichungen (13) und (14) leiten wir ab:

${\begin{aligned}{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{p_{k}+q_{k}\,\eta }},\\\,\\{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\zeta -\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}\\&=\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{\left(p_{k}{\frac {c}{a}}+q_{k}\right)\left({\frac {c}{b}}-{\frac {a}{b}}\,\eta \right)-\,{\frac {b}{a}}\,p_{k}}}.\\\end{aligned}}$

 Wir disponiren nun über die Coefficienten so, dass das $k\!$te Glied in der Entwicklung von ${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)$ gleich dem $(k+1)\!$ten Gliede in der Entwicklung von ${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)$ ist. Dann erhält man

(15)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{1}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{1}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=\,{\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}.\,$

 Damit dies zu Stande komme, hat man

(16)	${\begin{aligned}&p_{k+1}=p_{k}\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}+q_{k}\,{\frac {c}{b}}\\\,\\&q_{k+1}=-\,{\frac {1}{b}}\,(p_{k}c+q_{k}a)\\\end{aligned}}$

zu setzen. In den Bedingungsgleichungen (16) kommt $k\!$ nicht explicite vor. Wir schreiben deshalb

${\begin{aligned}&p_{k}={\mathfrak {P}}\alpha ^{k},\\\,\\&q_{k}={\mathfrak {Q}}\alpha ^{k}.\\\end{aligned}}$

Dadurch gehen die Gleichungen (16) über in

(17)	${\begin{aligned}&{\mathfrak {P}}\left(\alpha -\,{\frac {c^{2}-b^{2}}{ab}}\right)={\mathfrak {Q}}\,{\frac {c}{b}},\,\\\,\\&{\mathfrak {Q}}\left(\alpha +\,{\frac {a}{b}}\right)=-{\mathfrak {P}}\,{\frac {c}{b}},\\\end{aligned}}$

und wenn man ${\mathfrak {P}}\!$ und ${\mathfrak {Q}}\!$ eliminirt, so ergibt sich zur Bestimmung von $\alpha \!$ die quadratische Gleichung

(18)	$\alpha ^{2}+\alpha \,{\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{ab}}+1=0.\,$

Wir bezeichnen die Wurzeln mit $\alpha _{1}\!$ und $\alpha _{2}\!$, und bemerken, dass

${\begin{aligned}\alpha _{1}+\alpha _{2}&={\frac {c^{2}-(a^{2}+b^{2})}{ab}},\,\\\,\\\alpha _{1}\,\alpha _{2}&=1\\\end{aligned}}$

ist. Da nun $c>a+b\!$ vorausgesetzt ist, so zeigt sich, dass $\alpha _{1}+\alpha _{2}\!$ positiv ist, und da beide Wurzeln einerlei Vorzeichen haben (ihr Product ist $=1\!$), so muss $\alpha _{1}>0\!$ und $\alpha _{2}>0\!$ sein.

 Aus der zweiten der Gleichungen (17) findet sich

${\mathfrak {P}}=-{\frac {ab+a}{c}}\,{\mathfrak {Q}}.\,$

Je nachdem wir die Wurzel $\alpha _{1}\!$ oder $\alpha _{2}\!$ nehmen, erhalten wir particuläre Lösungen für $p_{k}\!$ und $q_{k}\!$. Daraus setzt sich die allgemeine Lösung zusammen, nemlich

(19)

${\begin{aligned}&q_{k}={\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k}\\\,\\&p_{k}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}^{k+1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}^{k+1}).\\\end{aligned}}$

Es bleiben jetzt nur noch die beiden Constanten ${\mathfrak {Q}}_{1}\!$ und ${\mathfrak {Q}}_{2}\!$ zu bestimmen. Zu dem Ende bemerken wir, dass aus (15) und (11) hervorgehen würde

${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g+{\frac {g}{\eta }}.\,$

Dieser Gleichung lässt sich nicht ohne weiteres genügen. Wir können aber die Function $\varphi _{1}(\eta )\!$ wieder zerlegen:

(20)	$\varphi _{1}(\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta ),\,$

und setzen dann, sofern $\zeta \!$ als unabhängige Variable eingeführt wird,

$\varphi _{11}(\eta )=\chi _{11}(\zeta ),\quad \varphi _{12}(\eta )=\chi _{12}(\zeta ).\,$

Die Gleichung (11) kann in der Weise befriedigt werden, dass wir setzen

(21)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=g,$

(22)	${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-\,{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }}.\,$

 Nimmt man nun zunächst für $\varphi _{11}(\eta )\!$ die Entwicklung (13) vor, so ergibt sich aus den Gleichungen (15) und (21):

${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}=g,$

d.h. $p_{0}={\frac {1}{g}},\,\,q_{0}=0.$

Aus (19) haben wir aber

${\begin{aligned}&q_{0}={\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2},\\\,\\&p_{0}=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}).\\\end{aligned}}$

Folglich müssen wir hier setzen:

${\mathfrak {Q}}_{2}=-{\mathfrak {Q}}_{1},\quad {\mathfrak {Q}}_{1}=-{\frac {c}{-b\,g(\alpha _{1}-\alpha _{2})}}.$

Wird dies in die Gleichungen (19) und von da in (13) eingeführt, so erhält man speciell für $\varphi _{11}(\eta )\!$ die Entwicklung

(23)	$\varphi _{11}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)-(\alpha _{1}^{k+1}+\,\alpha _{2}^{k+1})\,{\frac {b}{c}}\eta }}.$

 In entsprechender Weise findet man aus (15) und (22) die Bedingung

${\frac {1}{p_{0}+q_{0}\,\eta }}={\frac {g}{\eta }},\,$

also muss jetzt für die Entwicklung von $\varphi _{12}(\eta )\!$ gesetzt werden

${\begin{aligned}&p_{0}=0=-{\frac {a}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2})-{\frac {b}{c}}\,({\mathfrak {Q}}_{1}\,\alpha _{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}\,\alpha _{2}),\\\,\\&q_{0}={\frac {1}{g}}={\mathfrak {Q}}_{1}+{\mathfrak {Q}}_{2}.\\\end{aligned}}$

Daraus lassen sich ${\mathfrak {Q}}_{1}\!$ und ${\mathfrak {Q}}_{2}\!$ bestimmen, und wenn man ihre Werthe in (19) und von da in (13) einführt, so hat man speciell die Entwicklung von $\varphi _{12}(\eta )\!$.

 Man gelangt dazu einfacher auf dem folgenden Wege. Wir setzen

(24)	$\chi _{12}(\zeta )=-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{11}\left({\frac {1}{\zeta }}\right),$

folglich nach Gleichung (21)

(25)	$\varphi _{12}(\eta )=-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{11}\left({\frac {1}{\eta }}\right)+g,$

und wollen beweisen, dass hierdurch die Gleichung (22) befriedigt wird. Es ist nemlich

${\begin{aligned}&{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=-\varphi _{11}(\eta )+{\frac {g}{\eta }},\\\,\\&{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)=-\chi _{11}(\eta ),\\\end{aligned}}$

und hieraus ergibt sich durch Subtraction

${\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{12}\left({\frac {1}{\eta }}\right)-{\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{12}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)={\frac {g}{\eta }},\,$

d. h. die Bedingungsgleichung (22). Vermöge der Gleichungen (23) und (25) erhält man

$\varphi _{12}(\eta )=g-g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -\,{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}},\,$

oder kürzer:

(26)	$\varphi _{12}(\eta )=g\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\left(\eta -{\frac {a}{c}}\,\right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}+\alpha _{2}^{k+1})}}.\,$

Setzt man die Entwicklungen (23) und (26) in die Gleichung (20) ein, so ist nun die Function $\varphi _{1}(\eta )\!$ vollständig bestimmt.

 Die Function $\varphi _{2}(\eta )=\chi _{2}(\zeta )\!$, welche an die Gleichung (12) gebunden ist, zerlegen wir in zwei Bestandtheile

(27)	$\varphi _{2}(\eta )=\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta )$

und setzen, sofern $\zeta \!$ als unabhängige Variable eingeführt wird:

$\varphi _{21}(\eta )=\chi _{21}(\zeta ),\quad \varphi _{22}(\eta )=\chi _{22}(\zeta ).$

Dann lässt sich die Gleichung (12) in die beiden einfacheren zerlegen :

(28)	${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{21}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{21}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=h,$

(29)	${\frac {1}{\zeta }}\,\chi _{22}\left({\frac {1}{\zeta }}\right)-{\frac {1}{\eta }}\,\varphi _{22}\left({\frac {1}{\eta }}\right)=\,{\frac {h}{\zeta }}.\,$

Vergleicht man nun (28) mit (21) und (29) mit (22), so erkennt man, dass $\chi _{21}(\zeta )\!$ aus $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\chi _{22}(\zeta )\!$ aus $\varphi _{12}(\eta )\!$ hervorgeht, indem man die erste Kugel mit der zweiten vertauscht, also $g\!$ mit $h\!$, $a\!$ mit $b\!$, $\eta \!$ mit $\zeta \!$. Sobald die Ausdrücke für $\chi _{21}(\zeta )\!$ und für $\chi _{22}(\zeta )\!$ gefunden sind, ist nur für $\zeta \!$ an die Stelle zu setzen $\,{\frac {c}{b}}\,-\,{\frac {a}{b}}\,\eta .$ Dann hat man die Functionen $\varphi _{21}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$. Die durchgeführte Rechnung gibt nach leichter Reduction:

(30)	$\varphi _{21}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})\sum _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,{\frac {b}{c}}\,\eta -(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})\left(1-{\frac {a}{c}}\,\eta \right)}},\,$

(31)	$\varphi _{22}(\eta )=h\,{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}-\alpha _{2})\sum _{1}^{\infty }\,{\frac {1}{(\alpha _{1}^{k}-\alpha _{2}^{k})\,\left({\frac {c^{2}-b^{2}}{ac}}-\eta \right)-{\frac {b}{c}}\,(\alpha _{1}^{k+1}-\alpha _{2}^{k+1})}}.\,$

 Für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln ist hiernach die Potentialfunction

(32)	$\varphi (\eta )=\varphi _{11}(\eta )+\varphi _{12}(\eta )+\varphi _{21}(\eta )+\varphi _{22}(\eta ).\,$

 Es handelt sich noch darum, die Convergenz der Reihen (23), (26), (30), (31) zu untersuchen. In jeder dieser Reihen ist das allgemeine Glied von der Form

${\frac {1}{K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}},\,$

und es bedeutet in einer und derselben Entwicklung $K_{1}\!$ in allen Gliedern dasselbe, ebenso $K_{2}\!$. Dividirt man nun ein Glied durch das vorhergehende, so lautet der Quotient:

${\frac {K_{1}\alpha _{1}^{k}+K_{2}\alpha _{2}^{k}}{K_{1}\alpha _{1}^{k+1}+K_{2}\alpha _{2}^{k+1}}}.\,$

 Bei Gleichung (18) ist aber bemerkt worden, dass $\alpha _{1}\alpha _{2}=1\!$ ist und dass beide Wurzeln positiv sind. Wir nehmen $\alpha _{1}<1\!$, folglich $\alpha _{2}>1\!$, und können den eben gewonnenen Quotienten so schreiben

${\frac {\alpha _{2}^{k}(K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2})}{\alpha _{2}^{k+1}(K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2})}}=\alpha _{1}\cdot {\frac {K_{1}\alpha _{1}^{2k}+K_{2}}{K_{1}\alpha _{1}^{2k+2}+K_{2}}}.\,$

Der Grenzwerth für $k=\infty \!$ ist $\alpha _{1}\!$. Folglich convergiren die Reihen unter allen Umständen.

§. 50. Fortsetzung: Grösse und Lage jeder einzelnen fingirten Ladung.

 Wir betrachten zunächst die Function $\varphi _{11}(\eta )\!$, welche durch die Reihe (23) des vorigen Paragraphen ausgedrückt ist. Der Nenner des allgemeinen Gliedes lässt sich leicht in die Form bringen

$\alpha _{1}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{1}}{c}}\,\eta \right)-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {a+b\,\alpha _{2}}{c}}\,\eta \right)$

oder kürzer

(1)	$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}(1-\lambda _{2}\,\eta ).\,$

Hier sieht man ohne weiteres, dass $\lambda _{2}>\lambda _{1}\!$ ist, denn wir haben $\alpha _{2}>\alpha _{1}\!$ genommen. Bilden wir nun das Product $\lambda _{1}\lambda _{2}\!$, so findet sich:

$\lambda _{1}\lambda _{2}={\frac {(a+b\,\alpha _{1})(a+b\,\alpha _{2})}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})+b^{2}\alpha _{1}\alpha _{2}}{c^{2}}}.\,$

Nach der Gleichung (18) des vorigen Paragraphen ist aber $a\,b(\alpha _{1}+\alpha _{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2})\!$ und $\alpha _{1}\alpha _{2}=1\!$. Setzt man dies in die letzte Gleichung ein, so zeigt sich:

(2)	$\lambda _{1}\lambda _{2}=1.\,$

Beide Grössen $\lambda _{1}\!$ und $\lambda _{2}\!$ sind positiv und $\lambda _{2}>\lambda _{1}\!$, folglich muss $\lambda _{2}>1\!$ und $\lambda _{1}<1\!$ sein. Der Ausdruck (1) kann nun so geschrieben werden

(3)	$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right).\,$

Nehmen wir $\eta \geq 1\!$, so ist

$\alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)\,$

jedenfalls positiv und unter keinen Umständen Null. Ferner ist

${\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1>\lambda _{1}\,\eta -1\,$

und

$\alpha _{2}^{k}>\alpha _{1}^{k},\,$

folglich

$\alpha _{2}^{k}\left({\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta -1\right)>\alpha _{1}^{k}(\lambda _{1}\,\eta -1)\,$

oder, was dasselbe ist:

$\alpha _{1}^{k}(1-\lambda _{1}\,\eta )-\alpha _{2}^{k}\left(1-{\frac {1}{\lambda _{1}}}\,\eta \right)>0.\,$

Es kann also für $\eta \geq 1\!$ der Nenner des allgemeinen Gliedes in $\varphi _{11}(\eta )\!$ nicht Null und deshalb $\varphi _{11}(\eta )\!$ nicht unendlich werden. Dasselbe lässt sich von $\varphi _{22}(\eta )\!$ beweisen. In entsprechender Weise findet man, dass $\chi _{12}(\zeta )\!$ und $\chi _{21}(\zeta )\!$ nicht unendlich werden können für $\zeta \geq 1\!$. Für $\eta \geq 1\!$ hat man aber $\infty >x\geq a\!$ und für $\zeta \geq 1\!$ ist $c-b\geq x>-\infty \!$. Man darf also das Gültigkeitsgebiet der Ausdrücke für $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$ einerseits und für $\varphi _{12}(\eta )\!$ und $\varphi _{21}(\eta )\!$ andererseits erweitern. Für jene darf der Punkt $(x,\,0,\,0)$, der anfänglich zwischen beiden Kugeln lag, durch die zweite Kugel hindurch beliebig weit auf der Axe der positiven $x\!$ fortrücken, ohne dass die Ausdrücke (23) und (31) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich werden. Für diese darf der Punkt $(x,\,0,\,0)$ aus seinem anfänglichen Gebiete durch die erste Kugel hindurch in der Richtung der negativen $x\!$ beliebig weit verschoben werden, ohne dass die Ausdrücke (26) und (30) des vorigen Paragraphen irgendwo unendlich grosse Werthe geben. Da nun aber die vier Functionen nur innerhalb der einen oder der anderen Kugel unendlich werden können, so liegen die Unstetigkeitspunkte von $\varphi _{11}(\eta )\!$ und von $\varphi _{22}(\eta )\!$ innerhalb der ersten Kugel und die Unstetigkeitspunkte von $\varphi _{12}(\eta )\!$ und von $\varphi _{21}(\eta )\!$ innerhalb der zweiten Kugel. Beachtet man noch, dass die Ausdrücke für $\varphi _{11}(\eta )\!$ und $\varphi _{12}(\eta )\!$ mit dem Factor $g\!$, die Ausdrücke für $\varphi _{21}(\eta )\!$ und $\varphi _{22}(\eta )\!$ mit dem Factor $h\!$ behaftet sind, und erinnert sich der Bemerkung am Schlusse des §. 48, so findet sich, dass für einen Punkt auf der Centrallinie zwischen beiden Kugeln

(4)	$V_{1}'=\varphi _{11}(\eta ),\,$

(5)	$V_{2}'=\varphi _{12}(\eta ),\,$

(6)	$V_{3}'=\varphi _{21}(\eta ),\,$

(7)	$V_{4}'=\varphi _{22}(\eta ).\,$

Die Gleichungen (4) und (7) gelten auch noch für $x>c-b\!$, und die Gleichungen (5) und (6) für $x<a\!$. Danach hat man ein Mittel, die Constanten zu bestimmen, welche die Lage und die elektrische Ladung jedes Unstetigkeitspunktes angeben. Man hat nur in den Gleichungen (23), (26), (30), (31) des vorigen Paragraphen die Grösse $\eta \!$ zu ersetzen durch ${\frac {x}{a}}\!$ und hierauf die Nenner mit denen der entsprechenden Ausdrücke in den Gleichungen (1) des vorigen Paragraphen in Uebereinstimmung zu bringen. Dann lassen die Werthe von $x_{k}\!$ und $m_{k}\!$ sich ohne weiteres ablesen. Man erhält

(8)

${\begin{aligned}&x_{k}'={\frac {ac\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}{a\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}},\\\,\\&m_{k}'={\frac {-abg\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{a\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}};\\\end{aligned}}$

(9)	${\begin{aligned}&x_{k}''={\frac {a^{2}\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+ab\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}''={\frac {abg\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}};\\\end{aligned}}$

(10)

${\begin{aligned}&x_{k}'''=\,{\frac {ac\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{a\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}'''=\,{\frac {-abh\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{a\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}};\\\end{aligned}}$

(11)	${\begin{aligned}&x_{k}''''={\frac {(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})(c^{2}-b^{2})-ab\,(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}},\\\,\\&m_{k}''''={\frac {abh\,(\alpha _{2}-\alpha _{1})}{c\,(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}.\\\end{aligned}}$

Diese Werthe der Constanten hat man in die Ausdrücke (7) des §. 48 einzusetzen. Dann sind die Functionen $V_{1}',\,V_{2}',\,V_{3}',\,V_{4}'\,$ für jede beliebige Lage des Punktes $(x,\,y,\,z)$ völlig bestimmt.

 Uebrigens ist zu bemerken, dass die Lösung der Aufgabe sich durch Superposition aus vier speciellen Lösungen zusammensetzt. Es sind nemlich $V_{1}'\!$ und $V_{2}'\!$ die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der ersten und zweiten Gruppe unter der Voraussetzung, dass $g\!$ von Null verschieden, und $h=0\!$. Und es sind $V_{3}'\!$ und $V_{4}'\!$ die Potentialfunctionen, welche herrühren von den elektrischen Ladungen der Unstetigkeitspunkte resp. der dritten und vierten Gruppe, wenn $g=0\!$ und $h\!$ von Null verschieden.

 Wir wollen noch den Satz zur Anwendung bringen, welcher in der Gleichung (6) des §. 18 ausgesprochen ist. Dabei ist nur zu beachten, dass hier $-V\!$ dieselbe Rolle spielt wie dort $V\!$. Wir setzen

${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=R$

und finden nach dem eben citirten Satze:

(12)	$\lim(-RV_{1}')=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}',\,$ $\lim(-RV_{2}')=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}'',\,$ $\lim(-RV_{3}')=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}''',\,$ $\lim(-RV_{4}')=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}''''.\,$ für $\lim R=\infty .\,$

 Man kann die Elektricitätsmengen auch auf einem anderen Wege berechnen, indem man den Satz (5) des §. 12 anwendet und die Bemerkung macht, dass die Gleichung (9) desselben Paragraphen hier zutrifft, dass aber hier $-\,{\frac {\partial V}{\partial n}}\!$ statt $N\!$ gesetzt werden muss. Bezeichnet man also mit $d\sigma _{1}\!$ und $d\sigma _{2}\!$ ein Oberflächenelement der ersten und resp. der zweiten Kugel und mit $n\!$ die nach innen gezogene Normale, so findet sich

(13)

$-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{1}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{2}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}'',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{3}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\sum _{0}^{\infty }\,m_{k}''',\,$ $-\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left({\frac {\partial V_{4}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\sum _{1}^{\infty }\,m_{k}''''.\,$

Dagegen ist

(14)	$\int \left({\frac {\partial V_{1}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=\int \left({\frac {\partial V_{2}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}=\int \left({\frac {\partial V_{3}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{1}\,$

$=\int \left({\frac {\partial V_{4}'}{\partial n}}\right)_{0}d\sigma _{2}=0,\,$

wie ebenfalls aus dem Satze (5) des §. 12 hervorgeht.

 Es ist leicht zu beweisen, dass die Reihen auf der rechten Seite der Gleichungen (12) convergent sind.

§. 51. Fortsetzung: Die wirkliche Ladung der Kugel-Oberflächen.

 Die Vertheilung von Elektricitätsmengen über die Unstetigkeitspunkte innerhalb der beiden Kugeln ist nur eine Fiction, mit der wir nichts anderes bezweckt haben, als die Function $V'\!$ herzustellen, die im Raume ausserhalb der Kugeln mit der gesuchten Function $V\!$ übereinstimmt. Diese Function $V\!$ rührt her von der beim Gleichgewicht wirklich eingetretenen Elektricitätsvertheilung auf den beiden Kugeloberflächen. Wie nun $V'\!$ in vier Bestandtheile zerlegt ist, so kann man auch

(1)	$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}+V_{4}\,$

setzen und die Bestimmung treffen, dass im Raume ausserhalb der Kugeln und auf ihren Oberflächen

(2)	$V_{1}=V_{1}',\quad V_{2}=V_{2}',\quad V_{3}=V_{3}',\quad V_{4}=V_{4}'\,$

sein soll. In das Innere der Kugeln haben wir jede der Functionen $V_{1},\,V_{2},\,V_{3},\,V_{4}\,$ von der Oberfläche aus stetig so fortzusetzen, dass überall die partielle Differentialgleichung von Laplace erfüllt ist. Man kann noch bemerken, dass $V_{1}+V_{2}=g\!$ ist im Innern der ersten Kugel, und $=0\!$ im Innern der zweiten Kugel, und ferner, dass $V_{3}+V_{4}=h\!$ ist im Innern der zweiten und $=0\!$ im Innern der ersten Kugel.

 Wir wollen die Aufgabe so zerlegen, dass zuerst $g\!$ verschieden von Null und $h=0\!$ genommen wird, und nachher umgekehrt $g=0\!$ und $h\!$ verschieden von Null. Zuerst also $h=0\!$. Dann ist $V_{3}=V_{4}=0\!$. Es fragt sich, wie gross in einem Punkte der ersten oder der zweiten Kugeloberfläche die Dichtigkeit der Elektricität ist, von welcher die Potentialfunction $V=V_{1}+V_{2}\!$ herrührt. Auf diese Frage gibt die Gleichung (8) des §. 45 Antwort. Bezeichnen wir mit $M_{1}\!$ und $M_{2}\!$ die gesammte Elektricitätsmenge auf der ersten und resp. zweiten Kugeloberfläche, so findet sich

(3)	$M_{1}=\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left\{\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}+\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}\right\}d\sigma _{1},\,$

(4)	$M_{2}=\,{\frac {1}{4\pi }}\int \left\{\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}+\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}\right\}d\sigma _{2}.\,$

Hier kommen die Derivirten in unendlich kleiner Entfernung von der Oberfläche, aber ausserhalb, in Betracht. Für sie ist

$\left({\frac {\partial V_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}$ und $\left({\frac {\partial V_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}=\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}.$

Die Functionen $V'_{1}\!$ und $V'_{2}\!$ haben die Eigenschaft, dass sie selbst und ihre Derivirten beim Durchgang durch die Oberfläche der Kugeln sich stetig ändern. D. h. es ist

$\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V'_{1}}{\partial p}}\right)_{+0}$ und $\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V'_{2}}{\partial p}}\right)_{+0}.$

Gibt man nun noch Acht auf die Gleichungen (13) und (14) des vorigen Paragraphen, so erhält man (weil $n=-p\!$ für $p<0\!$):

(5)	$M_{1}=\sum _{0}^{\infty }m'_{k},$

(6)	$M_{2}=\sum _{1}^{\infty }m''_{k}.$

 Es sei ferner $g=0\!$, $h\!$ verschieden von Null, also $V_{1}=V_{2}=0\!$. Wir bezeichnen jetzt mit $M_{3}\!$ und $M_{4}\!$ die Elektricitätsmenge auf der zweiten und resp. der ersten Kugeloberfläche, von welcher die Potentialfunction $V=V_{3}+V_{4}\!$ herrührt. Zu ihrer Berechnung ist derselbe Weg einzuschlagen, wie vorher zur Berechnung von $M_{1}\!$ und $M_{2}\!$. Es findet sich

(7)	$M_{3}=\sum _{0}^{\infty }m'''_{k},$

(8)	$M_{4}=\sum _{1}^{\infty }m''''_{k}.$

Dieselben Elektricitätsmengen, welche vorher bei der fingirten Vertheilung in den Unstetigkeitspunkten irgend einer Gruppe concentrirt waren, sind also jetzt in Wirklichkeit stetig über die Oberfläche der zugehörigen Kugel ausgebreitet.

§. 52. Fortsetzung: Die Kugeln berühren sich.

 Sollen die beiden Kugeln sich berühren, so ist $g=h,c=a+b\!$ und die Gleichung (18) des §. 49 lautet jetzt

(1)	$\alpha ^{2}-2\,\alpha +1=0.$

Folglich ist $\alpha _{1}=\alpha _{2}=1\!$. Die Ausdrücke (8), (9), (10), (11) des §. 50 nehmen die Form ${\frac {0}{0}}$ an. Ihre Werthe sind aber leicht zu ermitteln. Man erhält

(2)

${\begin{alignedat}{2}&x'_{k}={\frac {k\,a\,c}{k\,c+b}},\qquad &&m'_{k}={\frac {-a\,b\,g}{k\,c+b}};\\\,\\&x''_{k}={\frac {a(k\,c+b)}{k\,c}},\qquad &&m''_{k}={\frac {a\,b\,g}{k\,c}};\\\,\\&x'''_{k}={\frac {(k+1)a\,c}{k\,c+a}},\qquad &&m'''_{k}={\frac {-a\,b\,g}{k\,c+a}};\\\,\\&x''''_{k}={\frac {a(k\,c-b)}{k\,c}},\qquad &&m''''_{k}={\frac {a\,b\,g}{k\,c}}.\\\end{alignedat}}$

 Hier entsteht nun die Schwierigkeit, dass die Reihen (7) des §. 48, sowie die Reihen (12) des §. 50, einzeln genommen, nicht mehr convergiren. Das Problem ist aber bei den in (2) ausgesprochenen Daten ein durchaus bestimmtes, man wird also auch eine einzige bestimmte Lösung zu verlangen haben. Diese Lösung ist vollständig hergestellt, wenn man für jeden Punkt des äusseren Raumes die Functionen $V_{1}+V_{4}\!$ und $V_{2}+V_{3}\!$ kennt, von denen die erste herrührt von der Elektricität auf der ersten, die andere von der Elektricität auf der zweiten Kugel. Aus diesen Functionen lässt sich dann nach § 45 (8) die Dichtigkeit der Elektricität in jedem Punkte der beiden Kugeloberflächen finden, und es lässt sich die gesammte Ladung $M_{1}+M_{4}\!$ für die erste Kugel und $M_{2}+M_{3}\!$ für die zweite Kugel berechnen.

 Wir fangen mit dieser letzten Aufgabe an. Es ist, wie im vorigen Paragraphen nachgewiesen worden:

(3)	$M_{1}+M_{4}={\frac {1}{4\,\pi }}\int \left({\frac {\partial (V'_{1}+V'_{4})}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{1},$

(4)	$M_{2}+M_{3}={\frac {1}{4\,\pi }}\int \left({\frac {\partial (V'_{2}+V'_{3})}{\partial p}}\right)_{+0}d\sigma _{2},$

wenn man in (3) über die erste, in (4) über die zweite Kugeloberfläche integrirt. Die Integrale auf der rechten Seite geben aber, wie ebenfalls im vorigen Paragraphen auseinandergesetzt ist, die Summe der fingirten Ladungen in den Unstetigkeitspunkten im Innern der einen und der andern Kugel an. Also erhält man

(5)	$M_{1}+M_{4}=\sum _{0}^{\infty }m'_{k}+\sum _{1}^{\infty }m''''_{k},$

(6)	$M_{2}+M_{3}=\sum _{1}^{\infty }m''_{k}+\sum _{0}^{\infty }m'''_{k}.$

Diese beiden letzten Gleichungen sind nun insofern noch unbestimmt, als jede der vier Reihen, einzeln genommen, divergirt. In Gleichung (5) besteht die erste Reihe aus lauter negativen, die zweite aus lauter positiven Gliedern, und umgekehrt ist es in Gleichung (6). Vereinigt man die Glieder auf der rechten Seite zu einer einzigen Reihe, so lässt sich je nach dem Gesetze, nach welchem positive und negative Glieder auf einander folgen, jede beliebige Zahl als Summe herstellen.*)^[2] Nach der Natur des Problems muss aber in jeder der beiden Gleichungen eine einzige bestimmte Zahl als die richtige Summe zu Stande kommen, und es fragt sich also, welche Anordnung der Glieder die allein richtige ist.

 Um darüber ins Klare zu kommen, gehen wir auf den Satz (6) des §. 18 zurück, wonach

(7)	$M_{1}+M_{4}=\lim \lbrace -R(V'_{1}+V'_{4})\rbrace ,$

(8)	$M_{2}+M_{3}=\lim \lbrace -R(V'_{2}+V'_{3})\rbrace$

für $\lim R=\infty .$

Es genügt, die Potentialfunctionen in (7) für solche Punkte der positiven Abscissenaxe herzustellen, deren Abscisse $x>c+b\!$ ist, und dann $\lim x=\infty \!$ zu nehmen.

 Statt aber die wahren Werthe der Potentialfunctionen in Rechnung zu bringen, wollen wir je einen zu grossen und einen zu kleinen nehmen. Wir gelangen dazu durch die Bemerkung, dass $x'_{k+1}>x''''_{k+1}>x'_{k}\!$. Durchläuft man also die Centrallinie im Innern der ersten Kugel im Sinne der wachsenden $x\!$, so gelangt man abwechselnd zu elektrischen Ladungen der ersten und der vierten Gruppe. Nun kann man sich jede Ladung der vierten Gruppe verschoben denken, das eine Mal in den nächstvorhergehenden, das andere Mal in den nächstfolgenden Unstetigkeitspunkt der ersten Gruppe. Dadurch, erhält man im ersten Falle im Punkte $x'_{k}\!$ die Ladung $m'_{k}+m''''_{k+1}\!$, und dies gilt von $k=0\!$ an. Im andern Falle hat man im Punkte $x'_{0}\!$ die Ladung $m'_{0}\!$, und im Punkte $x'_{k}\!$ (mit $k=1\!$ anfangend), die Ladung $m'_{k}+m''''_{k}\!$. Durch die erste Verschiebung werden aber die Ladungen der vierten Gruppe von dem Punkte $(x,\,0,\,0)$ zu weit entfernt, im zweiten Falle werden sie ihm zu sehr genähert. Gibt man dabei Acht auf die Form der Potentialfunction und auf die Vorzeichen der Ladungen, so ergibt sich bei der abgeänderten Vertheilung im ersten Falle ein zu grosser Werth, im zweiten Falle ein zu kleiner Werth der Potentialfunction, verglichen mit dem wahren Werthe, der bei richtiger Vertheilung zu Stande kommen muss. Wir haben danach

(9)	$\sum _{0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}-m''''_{k+1}}{x-x'_{k}}}>V'_{1}+V'_{4}>-{\frac {m_{0}}{x}}+\sum _{1}^{\infty }{\frac {-m'_{k}-m''''_{k}}{x-x'_{k}}}.$

Die beiden unendlichen Reihen, welche in (9) vorkommen, sind (für $x>a\!$ und um so mehr für $x>c+b\!$) unter allen Umständen convergent, auch wenn man für die Constanten die Werthe aus den Gleichungen (2) einsetzt. Multiplicirt man nun mit $x\!$ und geht zu den Grenzwerthen über für $\lim x=\infty \!$, so ergibt sich

$\sum _{0}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k+1})>\lim \lbrace x(V'_{1}+V'_{4})\rbrace >-m_{0}+\sum _{1}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k}).$

Hier kommen links und rechts in den Reihen dieselben Glieder in derselben Reihenfolge vor. Die doppelte Ungleichung geht also in eine Gleichung über, nemlich:

${\begin{aligned}\lim \lbrace x(V'_{1}+V'_{4})\rbrace &=\sum _{0}^{\infty }(-m'_{k}-m''''_{k+1})\\&=\sum _{0}^{\infty }\left({\frac {a\,b\,g}{k\,c+b}}-{\frac {a\,b\,g}{(k+1)c}}\right).\\\end{aligned}}$

Danach erhalten wir aus Gleichung (7):

(10)	$M_{1}+M_{4}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\sum _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {b}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right).$

In der Reihe auf der rechten Seite ist die Folge der Glieder keine willkürliche mehr, sondern genau vorgeschrieben. Die Reihe ist convergent. Man kann auch je zwei zusammengehörige Glieder vereinigen und erhält:

(11)	$M_{1}+M_{4}={\frac {a^{2}\,b\,g}{c^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\left(k+{\frac {b}{c}}\right)(k+1)}}.$

Die unendliche Reihe lässt sich in ein bestimmtes Integral verwandeln. Es ist nemlich für ein positives $k\!$:

$\int \limits _{0}^{1}t^{k-1}dt={\frac {1}{k}}.$

Folglich können wir schreiben

$\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {b}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\int \limits _{0}^{1}\left(t^{k+{\frac {b}{c}}-1}-t^{k}\right)dt$ $=\int \limits _{0}^{1}\left(t^{{\frac {b}{c}}-1}-1\right)dt\sum _{0}^{\infty }t^{k}=\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {a}{c}}}-1}{1-t}}dt.$

Benutzt man dies für Gleichung (10), so erhält man schliesslich:

(12)	$M_{1}+M_{4}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {a}{c}}}-1}{1-t}}dt.$

 In entsprechender Weise verfahren wir zur Berechnung von $M_{2}+M_{3}\!$. Das Resultat lautet:

(13)	${\begin{aligned}M_{2}+M_{3}&=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+{\frac {a}{c}}}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&=-{\frac {a\,b^{2}\,g}{c^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{\left(k+{\frac {a}{c}}\right)(k+1)}}\right).\\\end{aligned}}$

Auch hier kann man die unendliche Reihe durch ein bestimmtes Integral summiren, nemlich:

(14)	$M_{2}+M_{3}=-{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {t^{-{\frac {b}{c}}}-1}{1-t}}dt.$

Nun lassen sich auch die richtigen Ausdrücke für die Potentialfunctionen $V'_{1}+V'_{4}\!$ und $V'_{2}+V'_{3}\!$ leicht herstellen. Zunächst hat man:

${\begin{aligned}V'_{1}+V'_{4}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {-m'_{k}}{\sqrt {(x-x'_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\&+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {-m''''_{k}}{\sqrt {(x-x''''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}.\\\end{aligned}}$

Die beiden Reihen, einzeln genommen, sind divergent. Die erste hat lauter positive, die zweite lauter negative Glieder. Vereinigt man die Glieder zu den Bestandteilen einer einzigen Reihe, so kann man je nach der Anordnung jede beliebige Summe zu Stande bringen. Nach der Natur der Aufgabe hat man aber für irgend einen gegebenen Punkt $(x,\,y,\,z)$ nur einen bestimmten Werth zu erwarten. Folglich kann auch nur eine einzige Anordnung der Glieder die richtige sein, und man sieht leicht, dass es diejenige ist, für welche die Gleichung (7) den richtigen Werth von $M_{1}'+M_{4}'\!$ liefert. Da dieser nun schon bekannt ist, so hat es keine Schwierigkeit, jene allein richtige Anordnung ausfindig zu machen. Man erhält:

(15)	$V'_{1}+V'_{4}\,$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\frac {-m_{k}'}{\sqrt {(x-x'_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {m_{k+1}''''}{\sqrt {(x-x''''_{k+1})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right\rbrace$

und in entsprechender Weise:

(16)	$V'_{2}+V'_{3}\,$

$=\sum _{k=0}^{\infty }\left\lbrace {\frac {-m_{k}'''}{\sqrt {(x-x'''_{k})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}-{\frac {m_{k+1}''}{\sqrt {(x-x''_{k+1})^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right\rbrace .$

Die Reihen in (15) und (16) sind convergent, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ nicht in einen Unstetigkeitspunkt der ersten, resp. der zweiten Kugel fällt.

 Ueber die Integrale (12) und (14) ist noch eine Bemerkung zu machen. Die Integration lässt sich nemlich in geschlossener Form ausführen, wenn ${\frac {a}{c}}$ (und folglich auch ${\frac {b}{c}}$) ein rationaler Bruch ist. Es sei ${\frac {a}{c}}\,=\,{\frac {p}{q}}$, so dass $p\!$ und $q\!$ ganze Zahlen, und zwar relative Primzahlen sind. Dann setze man in $t=s^{q}\!$. Dadurch erhält man

(12*)

$M_{1}+M_{4}=-q\,{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {s^{q-p-1}-s^{q-1}}{1-s^{q}}}\,ds.$

Ebenso ergibt sich aus (14)

(14*)

$M_{2}+M_{3}=-q\,{\frac {a\,b\,g}{c}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {s^{p-1}-s^{q-1}}{1-s^{q}}}\,ds.$

Die Integration geschieht dann nach bekannten Methoden durch Zerlegung in Partialbrüche.

 Sind die Brüche ${\frac {a}{c}}$ und ${\frac {b}{c}}$ irrational, so kann man auf die Gleichungen (10) und (13) zurückgehen und zur Werthermittelung der unendlichen Reihen die Tafel zu Hülfe nehmen, welche Gauss der Abhandlung: Disquisitiones circa seriem infinitam*)^[3] beigegeben hat. Gauss schreibt:

(17)	$\Psi (z)=\lim \left\lbrace \lg m-\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {1}{z+k+1}}\right\rbrace$

für $\lim m=\infty \!$. Folglich ist

(10*)

$M_{1}+M_{4}=\,{\frac {abg}{c}}\left\lbrace \Psi \left(-{\frac {a}{c}}\right)-\Psi (0)\right\rbrace$

und

(13*)

$M_{2}+M_{3}={\frac {abg}{c}}\lim \left\lbrace \Psi \left(-{\frac {b}{c}}\right)-\Psi (0)\right\rbrace .$

Das Resultat der theoretischen Entwicklung stimmt überein mit dem Ergebnis der experimentellen Untersuchung.

§. 53. Fortsetzung: Bewegung der Kugeln.

 Wir kehren zurück zu der Voraussetzung, dass die Entfernung der Kugelmittelpunkte grösser ist als die Summe der Radien:

$c>a+b.\,$

Wir setzen zur Abkürzung:

(1)	$-ab\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{a(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})+b(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})}}=E_{1},$

(2)	$ab\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{c(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}=E_{2},$

(3)	$-ab\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\alpha _{2}-\alpha _{1}}{a(\alpha _{2}^{k+1}-\alpha _{1}^{k+1})+b(\alpha _{2}^{k}-\alpha _{1}^{k})}}=E_{3},$

(4)	$M_{1}+M_{4}={\mathfrak {M}}_{1},\,$

(5)	$M_{2}+M_{3}={\mathfrak {M}}_{2}\,$

und machen die Bemerkung, dass ${\mathfrak {M}}_{1}\,$ die gesammte Ladung der ersten, ${\mathfrak {M}}_{2}$ die gesammte Ladung der zweiten Kugel ist. Mit Rücksicht auf die Gleichungen (8), (9), (10), (11) des §.50 und (5), (6), (7), (8) des §. 51 haben wir dann

(6)	${\mathfrak {M}}_{1}=g\,E_{1}+h\,E_{2},$

(7)	${\mathfrak {M}}_{2}=g\,E_{2}+h\,E_{3}.$

Hieraus berechnet sich

(8)	$g={\frac {{\mathfrak {M}}_{1}E_{3}-{\mathfrak {M}}_{2}E_{2}}{E_{1}E_{3}-E_{2}^{2}}},\,$

(9)	$h={\frac {{\mathfrak {M}}_{2}E_{1}-{\mathfrak {M}}_{1}E_{2}}{E_{1}E_{3}-E_{2}^{2}}}.\,$

Dabei ist zu beachten, dass ${\mathfrak {M}}_{1}$ und ${\mathfrak {M}}_{2}$ gegebene constante Grössen sind. $E_{1},E_{2}\!$ und $E_{3}\!$ hängen ab von $a,\,b,\,c$ und den Wurzeln $\alpha _{1}\!$ und $\alpha _{2}\!$ der Gleichung (18) des §. 49. Diese Wurzeln sind aber selbst abhängig von $a,\,b,\,c$. Da nun $a\!$ und $b\!$ constant sind und nur der Abstand $c\!$ der Kugelmittelpunkte sich ändern kann, so sieht man, dass $E_{1},\,E_{2},\,E_{3}$ und folglich auch $g\!$ und $h\!$ Functionen von $c\!$ sind.

 Um die Bewegung der Kugeln zu untersuchen, hat man das Potential der gesammten Elektricitätsmenge auf sich selbst auszudrücken. Man erhält nach §.47, (4):

(10)	$P={\frac {1}{2}}\int Vd\varepsilon ,$

wenn das Integral über die Oberfläche beider Kugeln erstreckt wird. Es ist aber $V=g\!$ auf der ersten, $V=h\!$ auf der zweiten Kugel. Ferner ergibt sich durch Integration über die erste Kugel:

$\int d\varepsilon ={\mathfrak {M}}_{1};$

und durch Integration über die zweite Kugel:

$\int d\varepsilon ={\mathfrak {M}}_{2}.$

Folglich ist

$P={\frac {1}{2}}\,g\,{\mathfrak {M}}_{1}+{\frac {1}{2}}\,h\,{\mathfrak {M}}_{2},$

und wenn man aus (8) und (9) die Werthe von $g\!$ und $h\!$ einführt:

(11)	$P={\frac {{\mathfrak {M}}_{1}^{2}\,E_{3}-2{\mathfrak {M}}_{1}\,{\mathfrak {M}}_{2}\,E_{2}+{\mathfrak {M}}_{2}^{2}\,E_{1}}{2(E_{1}\,E_{3}-E_{2}^{2})}}.\,$

 Aendert sich der Abstand der Kugelmittelpunkte um $dc\!$, so wird die dabei geleistete Arbeit ausgedrückt durch

${\frac {dP}{dc}}\,dc.$

Die Kugeln wirken also auf einander ebenso, als ob ihre Mittelpunkte sich mit der Kraft

${\frac {dP}{dc}}$

abstiessen.*)^[4]

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1. *) Ueber diese physikalische Bedeutung von $U\!$ vergleiche man die erste Anmerkung auf Seite 144. Der Umstand, dass Green dort die Einheit positiver Elektricität im Punkte $(x',\,y',\,z')$ concentrirt denkt, während hier gerade die entgegengesetzte Einheit verlangt wird, könnte auffällig erscheinen. Er ist aber leicht zu erklären. Bei elektrostatischen Kräften ist nemlich die Green'sche Potentialfunction gerade das Entgegengesetzte von dem, was hier als Potentialfunction definirt worden ist. Soll also eine und dieselbe Function (die Hülsfunction $U\!$) als eine Potentialfunction, herrührend von elektrostatischen Kräften, angesehen werden, so ist klar, dass man die fingirte Ladung mit entgegengesetzten Vorzeichen zu nehmen hat, je nachdem für die Potentialfunction die Definition von Green, oder die hier aufgestellte Definition in Anwendung kommen soll.
2. *) Ueber diesen Satz vergleiche man: Riemann, partielle Differentialgleichungen. Bearbeitet von Hattendorff. § 20.
3. *) Commentationes societatis regiae scientiarum Gottingensis recentiores. Vol. II. Gottingae 1813. — Gauss’ Werke. Bd. 3. Göttingen 1866.
4. *) Die Aufgabe der §§. 48 bis 53 hat zuerst Poisson mathematisch behandelt in zwei Aufsätzen, welche unter den Mémoires de l'institut de France 1811 abgedruckt sind. Ferner sind zu citiren:
    Plana. Sur la distribution de l'électricité à la surface de deux sphères. (Memorie dell' accademia di Torino. T. 7. 1845.)
    Kirchhoff. Ueber die Vertheilung der Elektricität auf zwei leitenden Kugeln. (Borchardt, Journal Bd. 59. S. 89.)
    Murphy, R. Elementary principles of the theorics of electricity, heat and molecular actions. Part I, Chapter V. Cambridge 1833.
    Thomson, W. On the mutual attraction or repulsion between two electrified spherical conductors. (Philosophical Magazine. Series 5, Vol. IV.)
    Man vergleiche auch die Lehrbücher:
    Riess. Die Lehre von der Reibungs-Elektricität. Bd. 1. Berlin 1853.
    Kötteritzsch. Lehrbuch der Elektrostatik. Leipzig 1872.
    Die oben gegebene Entwicklung ist Riemann’s Eigenthum.
    Die experimentellen Untersuchungen sind zuerst von Coulomb angestellt. (Mémoires de l'Académie de Paris 1785—1788.)