Mathematische Principien der Naturlehre/Buch1-IV

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Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers Buch I. Abschnitt IV.

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ABSCHNITT IV.

Von der Bestimmung der elliptischen, parabolischen und hyperbolischen Bahnen aus einem gegebenen Brennpunkt.

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§. 38. Lehnsatz. Von den beiden Brennpunkten S und H einer Ellipse oder Hyperbel werden nach einem dritten Punkte V zwei gerade Linien SV und HV gezogen, deren eine HV gleich der grossen Axe, die andere SV durch das auf sie gefällte Perpendikel TR in T halbirt wird. Alsdann berührt dieses Perpendikel die Curve irgendwo und umgekehrt, wenn es sie berührt, ist VH gleich der Axe der Figur.

Fig. 30.

Es schneide das Perpendikel die, erforderlicher Weise verlängerte, gerade Linie HV in R und man ziehe SR. Da nun

TS = TV,

so wird

SR = VR

und

$\scriptstyle \angle$ TRS = TRV.

Der Punkt R liegt daher auf dem Kegelschnitt und TR berührt ihn, und umgekehrt.     W. Z. B. W.

§. 39. Aufgabe. Gegeben ist der Brennpunkt und die Hauptaxe; man soll eine Ellipse oder Hyperbel beschreiben, welche durch gegebene Punkte geht und der Lage nach gegebene Linien berührt.

S sei der gemeinschaftliche Brennpunkt, AB die Länge der grossen Axe, P der Punkt, durch welchen die Curve gehen und TN die Linie, welche sie berühren soll.

Aus P beschreibe man mit	AB – SP	für	eine	Ellipse
	AB + SP	„	„	Hyperbel

Fig. 31.

als Radius den Kreisbogen HG. Man fälle auf TR das Perpendikel ST und verlängere es, bis

ST = TS

wird, und beschreibe aus V mit AB als Radius den Kreisbogen HF. Auf diese Weise lassen sich stets zwei Kreise schlagen.

Es mögen gegeben sein zwei Punkte P und p, zwei Tangenten TR und tr, Ist H der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt der beiden Kreisbogen, so beschreibe man zu S und H als Brennpunkten und AB als grosser Axe die Curve; alsdann wird dieselbe der Bedingung Genüge leisten. Da

PH + SP = AB für die Ellipse

und

PH – SP = AB „ „ Hyperbel;

so geht die Curve durch den Punkt P, und sie berührt nach §. 38. die Linie TR.

Auf dieselbe Weise wird dargethan, dass sie respective durch die beiden Punkte P und p gehen, oder die Linien TR und tr berühren wird.

§. 40. Aufgabe. Um den gegebenen Brennpunkt eine Parabel zu beschreiben, welche durch einen gegebenen Punkt geht und der Lage nach gegebene Linien berührt.

Fig. 32.

S sei der Brennpunkt, P der gegebene Punkt und TR die ebenfalls gegebene Tangente der zu beschreibenden Curve. Man beschreibe aus P als Mittelpunkt mit PS als Radius den Bogen FG, fälle aus dem Brennpunkte S auf die Tangente das Perpendikel ST und mache dessen Verlängerung

TV = ST.

Auf dieselbe Weise ist ein anderer Bogen fg zu beschreiben, wenn ein anderer Punkt p gegeben, oder ein anderer Punkt v bei einer andern gegebenen Tangente tr zu suchen ist. Hierauf ziehe man JV, welche für zwei gegebene Punkte P und p beide Bogen FG und fg berührt, oder durch die Punkte V und v geht, wenn zwei Tangenten, oder durch V geht und FG berührt, wenn die Tangente TR und der Punkt P gegeben sind.

Auf JF fälle man das Perpendikel SJ, halbire dasselbe in K und beschreibe mit der Hauptaxe KS und zum Hauptscheitelpunkt K eine Parabel; alsdann ist diese die verlangte. Da nämlich

SK = JK

SP = FP,

so geht die Parabel durch P, und da

ST = FV

$\scriptstyle \angle$ STR = 90°,

berührt nach §. 32, Zusatz 3. die Parabel die Linie TR.

Fig. 33.

§. 41. Aufgabe. Um einen gegebenen Brennpunkt irgend eine, ihrer Art nach gegebene, Curve zu beschreiben, welche durch bestimmte Punkte geht und gegebene, gerade Linien berührt.

Erster Fall. Der Brennpunkt S ist gegeben, und die Curve soll durch die Punkte B und C gehen. Da die Curve ihrer Art nach gegeben ist, kennt man das Verhältniss der grossen Axe, zum gegenseitigen Abstande beider Brennpunkte, also das

1.     Aa : SH,

wenn H der andere Brennpunkt und Aa die grosse Axe ist. Nun mache man

2.     $\scriptstyle {\begin{cases}KB:BS=Aa:SH\ und\\LC:CS=Aa:SH.\end{cases}}$

Aus B und C als Mittelpunkten beschreibe man mit BK und CL als Radien Kreisbogen, ziehe an diese die Tangente KL und fälle auf die letztere das Perpendikel SG. In der Richtung des letztern bestimme man die Punkte A und a durch die Proportionen

3.     $\scriptstyle {\begin{cases}SA:AG=SB:BK\\Sa:aG=SB:BK.\end{cases}}$

Die zu Aa als Axe und den Punkten A und a als Scheitelpunkten beschriebene Figur ist die verlangte.

Ist H der andere Brennpunkt, so folgt aus den Proportionen 3.

SA : AG = Sa : aG

hieraus

Sa – SA : aG – AG = SA : AG

oder

4.     SH : Aa = SA : AG;

also steht die gegenseitige Entfernung der Brennpunkte zur grossen Axe in dem verlangten Verhältniss. Da ferner nach 2.

KB : BS = Aa : SH und
LC : CS = Aa : SH,

so geht die Figur nach der Lehre von den Kegelschnitten durch die Punkte B und C.^[1]

Fig. 34.

Zweiter Fall. Der Brennpunkt S ist gegeben, man soll die Curve construiren, welche die beiden Linien TR und tr irgendwo berührt.

Man fälle aus S auf die Tangenten die Perpendikel ST und St, und mache deren Verlängerungen

VT = TS und vt = tS.

Hierauf halbire man Vv in O, errichte das unbestimmte Perpendikel OH auf Vv, und schneide die unbegrenzte Linie VS in K und k so, dass

VK : KS = Vk : kS = a : e,

wenn a die Hauptaxe und e der gegenseitige Abstand der Brennpunkte in der zu construirenden Figur sind. Ueber Kk als Durchmesser beschreibe man einen Kreis, welcher OH in H schneidet, und beschreibe dann zu S und H als Brennpunkten und einer grossen Axe = VH die Figur; alsdann ist diese die verlangte.

Man halbire Kk in X und ziehe HX, HS, HV und Hv. Da

1.     VK : KS = a : e = Vk : kS,

so ist auch

2.     VK + Vk : KS + kS = a : e

und

3.     Vk – VK : kS – KS = a : e.

Aber

4.     VK + Vk = 2VK + 2KX = 2VX

5.     Vk – VKa = 2KX = 2HX

6.     KS + kS = 2KX = 2HX

7.     kS – KS = kK – 2KS = 2KX – 2 KS = 2 SX

demnach nach 2., 3., 4. und 6.

2VX : 2HX = 2HX : 2SX

oder

8.     VX : HX = 2HX : SX

mithin

Δ VXH ∼ HXS

und so

VH : SH	= VX : HX = VX – HX : XH – SX (Gl. 8.)
VH : SH	= VK : KS
	= a : e. (Gl. 1.).

Demnach hat die grosse Axe VH der zu beschreibenden Figur zum Abstande SH ihrer Brennpunkte das verlangte Verhältniss. Da ferner VH und vH den grossen Axen gleich sind, und die Linien VS und vS durch TR und tr rechtwinklig geschnitten und halbirt werden; so sind die letztern nach §. 38. Tangenten der beschriebenen Figur 24.

Dritter Fall. Bei gegebenem Brennpunkt S ist die Curve zu bestimmen, welche TR im gegebenen Punkte R berühre.

Fig. 35.

Man fälle auf PR das Perpendikel ST, und mache dessen Verlängerung

VT = ST.

Hierauf ziehe man VR und suche auf der unbestimmt verlängerten Linie VS die Punkte K und k so, dass

VK : KS = Vk : kS = a : e

werde, wo a und e dieselbe Bedeutung, wie im zweiten Falle haben. Ueber Kk als Durchmesser beschreibe man einen Kreis, welcher VR in H schneidet und construire nun zu S und H als Brennpunkten und der Axe HV die Figur; alsdann ist diese die verlangte. Dass

VH : SH = VK : SK = a : e

sei, erhellt aus dem Beweise des zweiten Falles, daher ist die zu beschreibende Figur die verlangte. Dass TR, welche den Winkel VRS halbirt, die Curve in R berühre, folgt aus der Lehre von den Kegelschnitten.^[2]

Vierter Fall. Um einen gegebenen Brennpunkt S soll die Curve APR construirt werden, welche TR berühre, durch einen ausserhalb der Tangente liegenden Punkt P gehe und der Curve apb, die zur grossen Axe ab und den Brennpunkten s und h beschrieben ist, ähnlich werde.

Fig. 36.

Auf die Tangente TR fälle man das Perpendikel ST und mache dessen Verlängerung

VT = ST.

Hierauf mache man

$\scriptstyle \angle$ hsq = VSP

$\scriptstyle \angle$ shq = SVP,

und mit einem Radius r, den man aus der Proportion

t · r : ab = SP : SV^[3]

findet, beschreibe man aus q als Mittelpunkt einen Kreisbogen, der die Figur apb in p schneidet. Man ziehe sp, und bestimme aus der Proportion

2.     sp : SP = sh : SH

die Linie SH, wodurch

$\scriptstyle \angle$ PSH = psh

VSH = psq

wird. Zieht man dann VH, und beschreibt zu der Linie VH als grosser Axe, und S und H als Brennpunkten eine Ellipse; so ist diese die verlangte Figur.

Zieht man die Linie sv, deren Länge durch die Proportion

3.     sv : vp = sh : sq

bestimmt wird, so dass

$\scriptstyle \angle$ vsp = hsq

vsh = psq,

so ist

Δ svh ∼ spq

mithin

4.     vh : pq = sh : sq,

d. h. weil

Δ VSP ∼ hsq

5.     $\scriptstyle {\begin{cases}vh:pq&=VS:SP\\&=ab:r\ (Prop.\ 1.).\\vh:pq&=ab:pq.\end{cases}}$

Es ist daher

vh = ab,

und da ferner

Δ VSH ∼ vsh

auch

6.     VH : SH = vh : sh.

Die beschriebene Figur ist mithin der gegebenen ähnlich, weil nach der Construction die grosse Axe und der gegenseitige Abstand der Brennpunkte in beiden proportional sind. Die erhaltene Figur geht durch den gegebenen Punkt P, weil

Δ PSH ∼ psh,

und da endlich VH gleich der grossen Axe und VS durch TR perpendikulär in zwei gleiche Theile geschnitten wird, berührt TR die Curve.

Fig. 37.

§. 42. Lehnsatz. Von drei gegebenen Punkten aus soll man nach einem vierten nicht gegebenen drei gerade Linien ziehen, deren Unterschiede entweder gegeben oder gleich Null sind.

Erster Fall. Die drei gegebeneu Punkte seien A, B, C, der vierte zu findende Z. Da der Unterschied

BZ – AZ = MN

gegeben ist, so wird Z auf einer Hyperbel liegen, deren Brennpunkte A und B und deren grosse Axe MN ist. Bestimmt man nun den Punkt P auf AB so, dass

1.     PM : MA = MN : AB,

errichtet man PR perpendikulär auf AB, fällt man das Perpendikel ZR auf PR; so hat man nach den Gesetzen der Hyperbel

2.     ZR : AZ = MN : AB.^[4]

Aus demselben Grunde liegt Z auf einer andern Hyperbel, deren Brennpunkte A und C sind und deren grosse Axe dem Unterschiede

CZ – AZ

gleich ist. Errichtet man QS perpendikulär auf AC, fällt man vom Punkte Z der zweiten Hyperbel das Perpendikel ZS auf QS; so hat man wie vorhin

3.     ZS : AZ = CZ – AZ : AC.

Die Verhältnisse ZR : AZ und ZS : AZ sind demnach bekannt, mithin auch das Verhältniss

ZR : ZS.

Treffen daher die Linien RP und QS im Punkte T zusammen, und zieht man die Linien TZ und TA, so ist die Figur TRZS ihrer Form und die Linie TZ, auf welcher der Punkt Z irgendwo sich befindet, ihrer Lage nach gegeben. Man kennt ferner die Linie TA und den Winkel ATZ, und wegen der gegebenen Verhältnisse AZ : ZS und TZ : ZS auch das AZ : TZ. Demnach ist das Dreieck ATZ, in dessen Spitze der zweite Punkt Z liegt, bekannt.

Zweiter Fall. Sind zwei der drei Linien einander gleich, ist etwa

AZ = BZ,

so liegt der Punkt Z in dem Perpendikel, welches in der Mitte von AB auf dieser Linie errichtet ist; der zweite geradlinige Ort desselben Punktes wird wie vorhin durch Δ ATZ gefunden.

Dritter Fall. Sind alle drei Linien einander gleich, so liegt Z im Mittelpunkte des durch A, B, C gehenden Kreises.

Die Lösung dieses Lehnsatzes findet man auch in dem, von Vieta restituirten, Werke: Liber Tactionum Appollonii.

§. 43. Aufgabe. Um einen gegebenen Brennpunkt eine Curve zu beschreiben, welche entweder durch gegebene Punkte geht, oder gegebene gerade Linien berührt.

Fig. 38.

S sei der gegebene Brennpunkt, P der gegebene Punkt, TR die Tangente; man sucht den andern Brennpunkt H.

Fällt man das Perpendikel ST von S auf TR, macht man die Verlängerung

TY = TS

ferner

YH = 2a,

wo 2a die grosse Axe bezeichnet; verbindet man hierauf P mit S und H; so wird

SP = 2a – PH.

Fig. 39.

Sind demnach mehrere Tangenten gegeben, so kennt man eben so viele einander gleiche Linien YH, und sind mehrere Punkte P gegeben, so kennt man eben so viele Linien PH, welche um gegebene SP von 2a verschieden sind. Hieraus findet man nach §. 42. den andern Brennpunkt H. Hat man aber die Brennpunkte und zugleich die grosse Axe (welche entweder = YH, oder in der Ellipse = PH + PS und in der Hyperbel = PH – PS ist); so erhält man auch die Curve.

§. 44. Anmerkung. Der Fall, in welchem drei Punkte gegeben sind, wird folgendermassen kürzer gelöst. Sind B, C, D die drei Punkte, so verbinde man B mit C und C mit D, verlängere beide Linien BC, CD so weit bis E und F, dass

1.     EB : EC = SB : SC

2.     FC : FD = SC : SD

werde. Hierauf ziehe man die Linie EF und fälle auf sie die Perpendikel SG und BH. Auf der unbestimmt verlängerten Linie SG mache man

3.     GA : AS = HB : BS

4.     Ga : aS = BH : BS;

alsdann wird A der Scheitelpunkt und Aa die grosse Axe der Curve.

Je nachdem

GA $\scriptstyle \left\{\gtreqqless \right\}$ SS,

wird die Curve eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel. Der Punkt a liegt im ersten Falle auf derselben Seite wie A von GK, im zweiten in unendlicher Entfernung, im dritten auf der entgegengesetzten Seite.

Fällt man auf GF die Perpendikel CJ und DK, so hat man

5.     JC : HB = EC : EB = SC : SB (Prop. 1.)

6.     JC : SC = HB : SB = GA : AS (Prop. 3.)

Es liegen daher die Punkte B, C, D in dem, um den Brennpunkt S beschriebenen, Kegelschnitt so (§. 40.), dass die Verbindungslinien derselben mit dem Brennpunkte zu den Perpendikeln auf GK in jenem gegebenen Verhältniss stehen.

Nach einer wenig hiervon verschiedenen Methode hat La Hire eine Auflösung dieser Aufgabe in seiner Lehre von den Kegelschnitten, Buch 8., Satz 25. gegeben.

Ist die Curve eine Hyperbel, so begreife ich unter diesem Namen nur die eine Seite, indem der Körper bei der Fortsetzung seiner Bewegung nicht in den entgegengesetzten Zweig übergeben kann.

Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

1. 

   Fig. 231.

   No. 23. S. 83. Setzen wir die zu B gehörende Abscisse AM = x, die Ordinate BM = y, den Radius vector BS = r; so wird bekanntlich v² = (1 – e²)(2ax – x²) wo e die Excentricität der Ellipse ausdrückt, ferner weil AS = a(1 – e)r² = y² + (AS – x)² = (1 – e²) (2ax – x²) + (a(1 – e) – x)² und hieraus nach gehöriger Reduction
   1.     r = ex + (1 – e)a

   und eben so, wenn AN = x¹, CN = y¹, SC = r¹ gesetzt wird.

   2.     r¹ = ex¹ + (1 – e)a.

   Da nun, wenn wir AG durch d bezeichnen, BK = d + x, LC = d + x¹ nach Prop. 2. d + x : r = 2a : 2ae = 1 : e, so folgt

   3.     de + ex = r

   und nach derselben zweiten Proportion d + x¹: r¹ = 1 : e also

   4.     de + ex¹ = r¹.

   Vergleicht man 3. mit 1. und 4. mit 2., so gehören die Gleichungen 3. und 4. einer Ellipse an, wenn

   5.     de = (1 – e)a.

   Nach Prop. 4. des Textes ist aber 2ae : 2a = a(1 – e) : d also in der That de = e(1 – e) wie in 5.

2. 

   Fig. 232.

   No. 24. S. 84. Soll man K und k so bestimmen, dass VK : KS = Vk : kS = a : e werde, so ziehe man aus V unter beliebigem Winkel mit VS die Linie VM, mache auf dieser VL = a, LM = e = LN, ziehe MS und LK ∥ MS; alsdann ist VK : KS = VL : LM = a : e. Ferner ziehe man NS und Lk ∥ NS; alsdann ist Vk : kS = VL : LN = a : e; also auch VK : KS = Vk : kS.
   
3. 

   Fig. 233.

   No. 25. S. 85. Man mache AB = SV (Fig. 36), AC = SP, AD = ab, ziehe BD und CE ∥ BD; alsdann ist AE = r.
   
4. 

   Fig. 234.

   No. 26. S. 86. Da MN = BZ – AZ, (Fig. 37.) so halbire man AB in U, trage rechts und links von U die gegebene Länge ½MN auf; alsdann ist MA gegeben. Macht man nun BV = MN, BW = MA, zieht man AW und XV ∥ AW; so hat man BX : BW = BV : AB, d. h. BX : MA = MN : AB also BX = PM (im Text).

   Setzt man die grosse Axe MN = 2a (Fig. 37.), die Excentricität AB = 2ae; so ist MA = ½(AB – MN) = ae – a; also nach Prop. 1. $\scriptstyle PM={\frac {(ae-a)2a}{2ae}}={\frac {ae-a}{e}}$.

   Ist ferner die Abscisse des Punktes Z, in Bezug auf MA als Axe und M als Anfangspunkt, = x, der Radiusvector AZ = r; so wird $\scriptstyle ZR=x+PM={\frac {ex+ae-a}{e}}$ und da r = ex + ae – a (§. 41., Bemerkung) $\scriptstyle ZR={\frac {r}{e}}$, $\scriptstyle {\frac {ZR}{AZ}}={\frac {1}{e}}$. Da nun ferner $\scriptstyle {\frac {MN}{AB}}={\frac {2a}{2ae}}={\frac {1}{e}}$

   ZR : AZ = MN : AB.

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