Elektrische Kraft Hertz:273

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
Seite 273
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14. Grundgleichungen für bewegte Körper.

Betracht genommenen Elementes der Uebergangsschicht und lassen ihn diesem Punkte auch bei der Bewegung folgen. Wir geben ferner der $z\,$-Axe eine solche Richtung, dass sie auf dem Elemente der Gleitfläche senkrecht steht und auch bei der Bewegung senkrecht bleibt. Die Uebergangsschicht bildet dann stets die unmittelbare Nachbarschaft der $xy\,$-Ebene. Wir setzen voraus, dass auch in der Uebergangsschicht selbst die Grössen:

${\begin{matrix}X&Y&Z&L&M&N&\\{\mathfrak {X}}&{\mathfrak {Y}}&{\mathfrak {Z}}&{\mathfrak {L}}&{\mathfrak {M}}&{\mathfrak {N}}\\u&v&w&\alpha &\beta &\gamma \end{matrix}}$

endlich bleiben, ebenso die Differentialquotienten dieser Grössen parallel zur Gleitfläche, also nach $x\,$ und $y,\,$ ferner die Differentialquotienten der Grössen:

${\begin{matrix}{\mathfrak {X}}&{\mathfrak {Y}}&{\mathfrak {Z}}&{\mathfrak {L}}&{\mathfrak {M}}&{\mathfrak {N}}\\\end{matrix}}$

nach der Zeit $t.\,$ Dagegen dürfen wir nicht ausschliessen, dass die Differentialquotienten nach $z\,$ unendlich werden, mit Ausnahme von $d\gamma /dz,\,$ welches zufolge der erwähnten Bemerkung der Einleitung endlich bleiben muss. $\gamma \,$ selbst ist demnach überall in der Uebergangsschicht verschwindend klein. Dies vorausgesetzt, multipliciren wir die ersten beiden Gleichungen der Systeme (1_a) und (1_b) mit $dz,\,$ integriren nach $z\,$ durch die Uebergangsschicht hindurch zwischen zwei derselben äusserst naheliegenden Punkten und beachten, dass bei der Kürze des Integrationsweges das Integral jeder in der Schicht endlich bleibenden Grösse verschwindet. Wir erhalten so, indem wir den Index 1 auf die eine Seite, den Index 2 auf die andere Seite der Grenzfläche beziehen, die vier Gleichungen:

$(5_{\text{a}})\,$

$A\int \limits _{1}^{2}{\mathfrak {N}}{\frac {d\alpha }{dz}}dz=Y_{2}-Y_{1},\qquad -A\int \limits _{1}^{2}{\mathfrak {N}}{\frac {d\beta }{dz}}dz=X_{2}-X_{1},$

$(5_{\text{b}})\,$

$-A\int \limits _{1}^{2}{\mathfrak {Z}}{\frac {d\alpha }{dz}}dz=M_{2}-M_{1},\qquad A\int \limits _{1}^{2}{\mathfrak {Z}}{\frac {d\beta }{dz}}dz=L_{2}-L_{1}.$

Dieselben geben die Verknüpfung der zur Grenzfläche tangentialen Kraftcomponenten auf beiden Seiten derselben miteinander. Die zur Grenzfläche normalen Componenten sind hier wie in ruhenden Körpern verknüpft durch die Bedingung, dass die