Elektrische Kraft Hertz:222

Heinrich Hertz: Untersuchungen über die Ausbreitung der elektrischen Kraft
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13. Ueber die Grundgleichungen der Elektrodynamik.

     Integriren wir nunmehr die ersten zwei der Gleichungen (7_a) und (7_b) nach Multiplication mit $dz\,$ durch die Uebergangsschicht hindurch, so erhalten wir, da wegen der Kürze des Weges das Integral jeder endlichen Grösse verschwindet die Bedingungen:

$(8_{\text{f}})\quad \left\lbrace {\begin{aligned}Y_{2}-Y_{1}&={\frac {d\varphi _{1,2}}{dy}},\\X_{2}-X_{1}&={\frac {d\varphi _{1,2}}{dx}},\end{aligned}}\right.\qquad (8_{\text{g}})\quad \left\lbrace {\begin{aligned}M_{2}-M_{1}&=0,{}^{}\\{}\\N_{2}-N_{1}&=0.{}_{}\end{aligned}}\right.$

     Die Anwendung hiervon auf die dritten der Gleichungen (7_a) und (7_b) ergiebt dann als Bedingungen für die Normalkräfte, dass zu beiden Seiten der Grenzfläche die Werthe der Ausdrücke:

${\begin{aligned}\mu _{13}{\frac {dL}{dt}}+\mu _{23}{\frac {dM}{dt}}+\mu _{33}{\frac {dN}{dt}},\\\varepsilon _{13}{\frac {dX}{dt}}+\varepsilon _{23}{\frac {dY}{dt}}+\varepsilon _{33}{\frac {dZ}{dt}}&+4\pi \lbrace \lambda _{31}(X-X')\\&+\lambda _{32}(Y-Y')+\lambda _{33}(Z-Z')\rbrace \end{aligned}}$

die gleichen sein müssen. Sind die Körper zu beiden Seiten der Grenzfläche homogen, so hat das Vorhandensein der elektromotorischen Kräfte keinen Einfluss auf die Bedingungen, durch welche die zu beiden Seiten herrschenden Kräfte mit einander verknüpft sind.

     Da unsere Grenzbedingungen nichts anderes sind, als die allgemeinen Gleichungen (7_a) und (7_b), transformirt für besondere Verhältnisse, so können wir jede Aussage und jede Operation, welche in einem bestimmten Bereich diese allgemeinen Gleichungen betrifft, ohne weiteres auch über die in dem Bereich vorkommenden Grenzen heterogener Körper uns erstreckt denken, vorausgesetzt nur, dass dieses Verfahren nicht mathematische Unzulässigkeiten einschliesst, vorausgesetzt also, dass sich unsere Aussagen und Operationen unmittelbar oder nach geeigneter Umformung beständig in endlichen und bestimmten Ausdrücken bewegen. Wir werden der hieraus entspringenden Bequemlichkeit des öfteren uns bedienen. Wenn wir dabei im allgemeinen darauf verzichten, den Beweis der Endlichkeit und Bestimmtheit aller vorkommenden Ausdrücke zu erbringen, so geschieht dies nicht, weil wir diesen Beweis für überflüssig hielten, sondern