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Indem man diese Ausdrücke in
und
einsetzt, erhält man die vollständige Lösung. Dieselbe lässt sich einfacher darstellen in folgender Weise: Da
und
conjugirt sind, so sind auch
und
conjugirt, ebenso sind, wie man leicht sieht,
und
conjugirt, und es ist daher
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gleich dem doppelten Werthe des reellen Theiles jedes dieser Ausdrücke. Ebenso ist
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welcher Ausdruck in
vorkommt, gleich dem Doppelten des imaginären Theiles des ersten Gliedes. Indem man dies beachtet, und die Werthe von
und
erkennt man leicht die Richtigkeit der Gleichung:
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[1]
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Besonders einfach wird die Gleichung, wenn
ist, es sich also um eine Vollkugel handelt. Dann ist
unendlich, unsere Gleichung wird also:
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Die Grössen, auf deren Kenntniss es uns besonders ankommt, nämlich der Winkel
und die Verstärkung der Stromstärke
haben eine sehr einfache analytische Bedeutung, sie sind Amplitude und Modul der links stehenden complexen Grössen.
Die Rechnungen lassen sich weiter führen mit Zuhülfenahme der folgenden Bemerkungen:
Die Integrale, durch welche
und
definirt sind, lassen [2] sich für ganzzahlige
unbestimmt ausführen, und die
und
also in geschlossener Form erhalten. Wir können und wollen unter den
und
diese so ausgerechneten Funktionen verstehen.
- ↑ Lösung der Gleichung für
und
mittelst der
und
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.
- ↑ Weitere Eigenschaften der
und
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.