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44
=
2
n
λ
2
σ
2
n
+
1
p
n
−
1
(
S
)
−
s
2
n
+
3
2
(
n
+
1
)
p
n
+
1
(
s
)
−
2
n
+
1
λ
2
σ
2
n
+
1
p
n
(
σ
)
.
{\displaystyle ={\frac {2n}{\lambda ^{2}}}\sigma ^{2n+1}p_{n-1}(S)-{\frac {s^{2n+3}}{2(n+1)}}p_{n+1}(s)-{\frac {2n+1}{\lambda ^{2}}}\sigma ^{2n+1}p_{n}(\sigma ).\,}
Setzt man diese und die ähnlich zu bildenden Ausdrücke für
q
{\displaystyle q\,}
in die Gleichungen ein, beachtet, dass
φ
2
=
−
φ
1
λ
2
,
{\displaystyle \varphi _{2}=-\varphi _{1}\lambda ^{2},\,}
und
λ
4
=
−
1
,
{\displaystyle \lambda ^{4}=-1,\,}
so heben sich die
p
{\displaystyle p\,}
und
q
,
{\displaystyle q,\,}
wie es sein muss, heraus und es bleiben Gleichungen zurück von der Form
0
=
const
1
+
const
2
ϱ
2
n
+
1
,
{\displaystyle 0={\text{const}}_{1}+{\frac {{\text{const}}_{2}}{\varrho ^{2n+1}}},\,}
welches die Lösungen der Gleichung
d
d
σ
(
σ
−
2
n
d
d
σ
(
σ
2
n
+
1
φ
)
)
=
0
{\displaystyle {\frac {d}{d\sigma }}\left(\sigma ^{-2n}{\frac {d}{d\sigma }}(\sigma ^{2n+1}\varphi )\right)=0\,}
sind.
Die hier auftretenden Constanten müssen einzeln verschwinden, und es werden so die folgenden 4 Gleichungen für
A
B
C
D
{\displaystyle A\ B\ C\ D\,}
erhalten, unter Beachtung des Umstandes, dass
1
λ
1
2
=
−
1
λ
2
2
{\displaystyle {\frac {1}{\lambda _{1}^{2}}}=-{\frac {1}{\lambda _{2}^{2}}}\,}
ist:
2
n
+
1
2
n
=
A
p
n
−
1
(
λ
1
S
)
+
B
p
n
−
1
(
λ
2
S
)
+
C
q
n
−
1
(
λ
1
S
)
+
D
q
n
−
1
(
λ
2
S
)
0
=
A
p
n
−
1
(
λ
1
S
)
−
B
p
n
−
1
(
λ
2
S
)
+
C
q
n
−
1
(
λ
1
S
)
−
D
q
n
−
1
(
λ
2
S
)
0
=
A
p
n
+
1
(
λ
1
s
)
+
B
p
n
+
1
(
λ
2
s
)
+
C
q
n
+
1
(
λ
1
s
)
+
D
q
n
+
1
(
λ
2
s
)
0
=
A
p
n
+
1
(
λ
1
s
)
−
B
p
n
+
1
(
λ
2
s
)
+
C
q
n
+
1
(
λ
1
s
)
−
D
q
n
+
1
(
λ
2
s
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2n+1}{2n}}&=Ap_{n-1}(\lambda _{1}S)+Bp_{n-1}(\lambda _{2}S)+Cq_{n-1}(\lambda _{1}S)+Dq_{n-1}(\lambda _{2}S)\\0&=Ap_{n-1}(\lambda _{1}S)-Bp_{n-1}(\lambda _{2}S)+Cq_{n-1}(\lambda _{1}S)-Dq_{n-1}(\lambda _{2}S)\\0&=Ap_{n+1}(\lambda _{1}s)+Bp_{n+1}(\lambda _{2}s)+Cq_{n+1}(\lambda _{1}s)+Dq_{n+1}(\lambda _{2}s)\\0&=Ap_{n+1}(\lambda _{1}s)-Bp_{n+1}(\lambda _{2}s)+Cq_{n+1}(\lambda _{1}s)-Dq_{n+1}(\lambda _{2}s).\end{aligned}}\,}
Dieselben lassen sich leicht auflösen und ergeben:
A
=
2
n
+
1
4
n
⋅
q
n
+
1
(
λ
1
s
)
p
n
−
1
(
λ
1
S
)
q
n
+
1
(
λ
1
s
)
−
p
n
+
1
(
λ
1
s
)
q
n
−
1
(
λ
1
S
)
C
=
−
2
n
+
1
4
n
⋅
p
n
+
1
(
λ
1
s
)
p
n
−
1
(
λ
1
S
)
q
n
+
1
(
λ
1
s
)
−
p
n
+
1
(
λ
1
s
)
q
n
−
1
(
λ
1
S
)
B
=
2
n
+
1
4
n
⋅
q
n
+
1
(
λ
2
s
)
p
n
−
1
(
λ
2
S
)
q
n
+
1
(
λ
2
s
)
−
p
n
+
1
(
λ
2
s
)
q
n
−
1
(
λ
2
S
)
D
=
−
2
n
+
1
4
n
⋅
p
n
+
1
(
λ
2
s
)
p
n
−
1
(
λ
2
S
)
q
n
+
1
(
λ
2
s
)
−
p
n
+
1
(
λ
2
s
)
q
n
−
1
(
λ
2
S
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=&{\frac {2n+1}{4n}}\cdot {\frac {q_{n+1}(\lambda _{1}s)}{p_{n-1}(\lambda _{1}S)q_{n+1}(\lambda _{1}s)-p_{n+1}(\lambda _{1}s)q_{n-1}(\lambda _{1}S)}}\\C&=-&{\frac {2n+1}{4n}}\cdot {\frac {p_{n+1}(\lambda _{1}s)}{p_{n-1}(\lambda _{1}S)q_{n+1}(\lambda _{1}s)-p_{n+1}(\lambda _{1}s)q_{n-1}(\lambda _{1}S)}}\\B&=&{\frac {2n+1}{4n}}\cdot {\frac {q_{n+1}(\lambda _{2}s)}{p_{n-1}(\lambda _{2}S)q_{n+1}(\lambda _{2}s)-p_{n+1}(\lambda _{2}s)q_{n-1}(\lambda _{2}S)}}\\D&=-&{\frac {2n+1}{4n}}\cdot {\frac {p_{n+1}(\lambda _{2}s)}{p_{n-1}(\lambda _{2}S)q_{n+1}(\lambda _{2}s)-p_{n+1}(\lambda _{2}s)q_{n-1}(\lambda _{2}S)}}.\end{aligned}}\,}