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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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Durch rückwärtsschreitende Integration findet man nun aus den vorigen Formeln:

$\int \sigma p_{n}(\lambda \sigma )\,d\sigma ={\frac {2n}{\lambda ^{2}}}p_{n-1}(\lambda \sigma )\,$

und

$\int \sigma ^{2n}p_{n-1}(\lambda \sigma )\,d\sigma ={\frac {1}{2n}}\sigma ^{2n+1}p_{n}(\lambda \sigma ),\,$

aus welchen durch Differentiation die Recursionsformeln folgen:

$p_{n}(\lambda \sigma )={\frac {2n}{\lambda }}{\frac {p'_{n-1}}{\sigma }}\,$ [1]

$p_{n-1}(\lambda \sigma )={\frac {2n+1}{2n}}p_{n}(\lambda \sigma )+{\frac {\lambda \sigma }{2n}}p'_{n}(\lambda \sigma )\,$

aus welchen folgt:

$p_{n-1}={\frac {2n+1}{2n}}p_{n}+{\frac {\lambda ^{2}\sigma ^{2}}{4n(n+1)}}p_{n+1}\,$

$p_{n}={\frac {2}{\lambda ^{2}\sigma ^{2}}}\left\lbrace 2n(n-1)p_{n-2}-n(2n-1)p_{n-1}\right\rbrace .\,$

Ganz ähnliche Rechnungen lassen sich nun auch für die $q_{n}\,$ durchführen, die Resultate gehen aus den eben gewonnenen einfach durch Vertauschung von $p\,$ mit $q\,$ hervor, man hat also auch

${\begin{aligned}&\int \sigma q_{n}(\lambda \sigma )\,d\sigma ={\frac {2n}{\lambda ^{2}}}q_{n-1}(\lambda \sigma )\\&\int \sigma ^{2n}q_{n-1}(\lambda \sigma )\,d\sigma ={\frac {1}{2n}}\sigma ^{2n+1}q_{n}(\lambda \sigma )\ {\text{etc.}}\end{aligned}}\,$

Mit Zuhülfenahme dieser Formeln hat die Ausführung der nothwendigen Integrationen keine Schwierigkeit, beispielsweise hat man, unter Zuhülfenahme einer partiellen Integration:

$\int \limits _{s}^{\sigma }a^{2i+2}p_{n}a\,da+\sigma ^{2n+1}\int \limits _{\sigma }^{S}ap_{n}(a)\,da\,$

${\begin{aligned}={\frac {2n}{\lambda ^{2}}}\sigma ^{2n+1}p_{n-1}(S)-{\frac {2ns^{2n+1}p_{n-1}(s)}{\lambda ^{2}}}&+{\frac {(2n+1)s^{2n+1}p_{n}(s)}{\lambda ^{2}}}\\&-{\frac {2n+1}{\lambda ^{2}}}\sigma ^{2n+1}p_{n}(\sigma )\end{aligned}}\,$

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1. Integral- und Recursionsformeln der $p_{n}\,$ und $q_{n}.\,$ WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 43. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_044.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)