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Durch rückwärtsschreitende Integration findet man nun aus den vorigen Formeln:
∫
σ
p
n
(
λ
σ
)
d
σ
=
2
n
λ
2
p
n
−
1
(
λ
σ
)
{\displaystyle \int \sigma p_{n}(\lambda \sigma )\,d\sigma ={\frac {2n}{\lambda ^{2}}}p_{n-1}(\lambda \sigma )\,}
und
∫
σ
2
n
p
n
−
1
(
λ
σ
)
d
σ
=
1
2
n
σ
2
n
+
1
p
n
(
λ
σ
)
,
{\displaystyle \int \sigma ^{2n}p_{n-1}(\lambda \sigma )\,d\sigma ={\frac {1}{2n}}\sigma ^{2n+1}p_{n}(\lambda \sigma ),\,}
aus welchen durch Differentiation die Recursionsformeln folgen:
p
n
(
λ
σ
)
=
2
n
λ
p
n
−
1
′
σ
{\displaystyle p_{n}(\lambda \sigma )={\frac {2n}{\lambda }}{\frac {p'_{n-1}}{\sigma }}\,}
[1]
p
n
−
1
(
λ
σ
)
=
2
n
+
1
2
n
p
n
(
λ
σ
)
+
λ
σ
2
n
p
n
′
(
λ
σ
)
{\displaystyle p_{n-1}(\lambda \sigma )={\frac {2n+1}{2n}}p_{n}(\lambda \sigma )+{\frac {\lambda \sigma }{2n}}p'_{n}(\lambda \sigma )\,}
aus welchen folgt:
p
n
−
1
=
2
n
+
1
2
n
p
n
+
λ
2
σ
2
4
n
(
n
+
1
)
p
n
+
1
{\displaystyle p_{n-1}={\frac {2n+1}{2n}}p_{n}+{\frac {\lambda ^{2}\sigma ^{2}}{4n(n+1)}}p_{n+1}\,}
p
n
=
2
λ
2
σ
2
{
2
n
(
n
−
1
)
p
n
−
2
−
n
(
2
n
−
1
)
p
n
−
1
}
.
{\displaystyle p_{n}={\frac {2}{\lambda ^{2}\sigma ^{2}}}\left\lbrace 2n(n-1)p_{n-2}-n(2n-1)p_{n-1}\right\rbrace .\,}
Ganz ähnliche Rechnungen lassen sich nun auch für die
q
n
{\displaystyle q_{n}\,}
durchführen, die Resultate gehen aus den eben gewonnenen einfach durch Vertauschung von
p
{\displaystyle p\,}
mit
q
{\displaystyle q\,}
hervor, man hat also auch
∫
σ
q
n
(
λ
σ
)
d
σ
=
2
n
λ
2
q
n
−
1
(
λ
σ
)
∫
σ
2
n
q
n
−
1
(
λ
σ
)
d
σ
=
1
2
n
σ
2
n
+
1
q
n
(
λ
σ
)
etc.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \sigma q_{n}(\lambda \sigma )\,d\sigma ={\frac {2n}{\lambda ^{2}}}q_{n-1}(\lambda \sigma )\\&\int \sigma ^{2n}q_{n-1}(\lambda \sigma )\,d\sigma ={\frac {1}{2n}}\sigma ^{2n+1}q_{n}(\lambda \sigma )\ {\text{etc.}}\end{aligned}}\,}
Mit Zuhülfenahme dieser Formeln hat die Ausführung der nothwendigen Integrationen keine Schwierigkeit, beispielsweise hat man, unter Zuhülfenahme einer partiellen Integration:
∫
s
σ
a
2
i
+
2
p
n
a
d
a
+
σ
2
n
+
1
∫
σ
S
a
p
n
(
a
)
d
a
{\displaystyle \int \limits _{s}^{\sigma }a^{2i+2}p_{n}a\,da+\sigma ^{2n+1}\int \limits _{\sigma }^{S}ap_{n}(a)\,da\,}
=
2
n
λ
2
σ
2
n
+
1
p
n
−
1
(
S
)
−
2
n
s
2
n
+
1
p
n
−
1
(
s
)
λ
2
+
(
2
n
+
1
)
s
2
n
+
1
p
n
(
s
)
λ
2
−
2
n
+
1
λ
2
σ
2
n
+
1
p
n
(
σ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}={\frac {2n}{\lambda ^{2}}}\sigma ^{2n+1}p_{n-1}(S)-{\frac {2ns^{2n+1}p_{n-1}(s)}{\lambda ^{2}}}&+{\frac {(2n+1)s^{2n+1}p_{n}(s)}{\lambda ^{2}}}\\&-{\frac {2n+1}{\lambda ^{2}}}\sigma ^{2n+1}p_{n}(\sigma )\end{aligned}}\,}
↑ Integral- und Recursionsformeln der
p
n
{\displaystyle p_{n}\,}
und
q
n
.
{\displaystyle q_{n}.\,}
WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.