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	Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln

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${\begin{aligned}U&=\varrho ^{m}\left(y{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-z{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}\right)\\V&=\varrho ^{m}\left(z{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}-x{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\right)\\W&=\varrho ^{m}\left(x{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}\right),\end{aligned}}\,$

welche Form der Gleichung

${\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}{\partial z}}=0\,$

genügt, so sind die Lösungen der vorstehenden Differentialgleichungen:

${\begin{aligned}\varphi &=-\omega \varrho ^{m}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)\\&=\omega \varrho ^{m+1}\sin \theta {\frac {\partial \chi _{n}}{\partial \theta }}\\u'&=-{\frac {\omega }{\varkappa }}\varrho ^{m}\left(y{\frac {\partial \chi '_{n}}{\partial z}}-z{\frac {\partial \chi '_{n}}{\partial y}}\right)\\v'&=-{\frac {\omega }{\varkappa }}\varrho ^{m}\left(z{\frac {\partial \chi '_{n}}{\partial x}}-x{\frac {\partial \chi '_{n}}{\partial z}}\right)\\w'&=-{\frac {\omega }{\varkappa }}\varrho ^{m}\left(x{\frac {\partial \chi '_{n}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \chi '_{n}}{\partial x}}\right).\end{aligned}}\,$

Um den Beweis der Richtigkeit zu führen, drücken wir zunächst die Bedingungen für $\varphi \,$ in $\chi _{n}\,$ aus. Es ist (§ 1,4)

${\begin{aligned}{\mathit {\Delta }}U&=m(m+2n+1)\varrho ^{m-2}\left(y{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-z{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}\right)\\{\mathit {\Delta }}V&=m(m+2n+1)\varrho ^{m-2}\left(z{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}-x{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}\right)\\{\mathit {\Delta }}W&=m(m+2n+1)\varrho ^{m-2}\left(x{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}-y{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}\right)\\y{\mathit {\Delta }}U-x{\mathit {\Delta }}V&=m(m+2n+1)\varrho ^{m-2}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial z}}-nz\chi _{n}\right)\\z{\mathit {\Delta }}V-y{\mathit {\Delta }}W&=m(m+2n+1)\varrho ^{m-2}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial x}}-nx\chi _{n}\right)\\x{\mathit {\Delta }}W-z{\mathit {\Delta }}U&=m(m+2n+1)\varrho ^{m-2}\left(\varrho ^{2}{\frac {\partial \chi _{n}}{\partial y}}-ny\chi _{n}\right)\end{aligned}}\,$ [1]

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1. Beweis desselben. WS: Die Randnotiz wurde als Fußnote übertragen.

Empfohlene Zitierweise:
Heinrich Hertz: Ueber die Induction in rotirenden Kugeln, Berlin 1880, Seite 33. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:De_Induction_in_rotirenden_Kugeln_(Hertz)_034.png&oldid=- (Version vom 31.7.2018)